Решите неравенство 3^{\log_3(\log_3 x)} + \log_9^2 x - 8 \leq 0.

Для решения неравенства $3^{\log_3(\log_3 x)} + \log_9^2 x - 8 \leq 0$ выполним следующие шаги: 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): - $\log_3 x$ должен быть определен, то есть $x > 0$. - Аргумент логарифма $\log_3 x$ должен быть положителен: $\log_3 x > 0 \implies x > 1$. 2. Упростим выражение: - По основному логарифмическому тождеству $3^{\log_3(\log_3 x)} = \log_3 x$. - Преобразуем второй член: $\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2} = 0,5 \log_3 x$. - Тогда $\log_9^2 x = (0,5 \log_3 x)^2 = 0,25 \log_3^2 x$. 3. Сделаем замену переменной: Пусть $t = \log_3 x$. Неравенство примет вид: $t + 0,25 t^2 - 8 \leq 0$ Умножим на 4 для удобства: $t^2 + 4t - 32 \leq 0$ 4. Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + 4t - 32 = 0$: Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 = 12^2$. $t_1 = \frac{-4 - 12}{2} = -8$ $t_2 = \frac{-4 + 12}{2} = 4$ Решение неравенства: $-8 \leq t \leq 4$. 5. Вернемся к переменной $x$: $-8 \leq \log_3 x \leq 4$ $3^{-8} \leq x \leq 3^4$ $\frac{1}{6561} \leq x \leq 81$ 6. Учитывая ОДЗ ($x > 1$), пересекаем интервалы: $1 < x \leq 81$ **Ответ:** $(1; 81]$.