На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета).

Пусть $n$ — количество синих карточек, $m$ — количество красных карточек. На синих карточках написаны различные числа, делящиеся на 5 (пусть их максимальное значение $M_{blue}$), все числа > -120. На красных карточках написаны различные четные числа (максимальное $M_{red}$), все числа > -120. По условию: $M_{red} = 2n$ и $M_{blue} = m$. Так как числа на синих карточках различны, делятся на 5 и меньше или равны $M_{blue} = m$, а все они > -120, то количество таких чисел не превышает количество целых чисел, кратных 5 в диапазоне $(-120; m]$. То есть $n \le \lfloor \frac{m - (-120)}{5} \rfloor = \lfloor \frac{m+120}{5} \rfloor = \lfloor 0.2m + 24 \rfloor$. Аналогично для красных: числа различны, четные, меньше или равны $M_{red} = 2n$, и все они > -120. Количество таких чисел $m \le \lfloor \frac{2n - (-120)}{2} \rfloor + 1$ (добавляем 1, так как диапазон включительно). Это значит $m \le n + 60 + 1 = n + 61$. а) $n+m=6$. Проверим условия: $n \le 0.2(6-n)+24 \Rightarrow n \le 1.2 - 0.2n + 24 \Rightarrow 1.2n \le 25.2 \Rightarrow n \le 21$. И $m \le n+61$. При $n+m=6$, если $n=1, m=5$, то $5 \le 1+61$ (верно). Но $M_{blue}=m=5$. Числа на синих: одно число кратное 5 $\le 5$. Например, число 5. А на красных $M_{red}=2n=2$. Числа на красных: различные четные $\le 2$. Их может быть 5, но четных $\le 2$ и $>-120$ всего 62 ($2, 0, -2, \dots, -120$). Так что 5 красных карточек возможно. Да, может. б) $m = n + 90$. Из условия $m \le n + 61$, мы получили $n+90 \le n+61$, что дает $90 \le 61$ — противоречие. Нет, не может. в) Нужно максимизировать $N = n + m$. Мы имеем систему неравенств: $n \le 0.2m + 24$ и $m \le n + 61$. Подставим граничное значение: $n = 0.2m + 24$. Тогда $m \le 0.2m + 24 + 61 \Rightarrow 0.8m \le 85 \Rightarrow m \le 106.25$. Возьмем $m = 106$. Тогда $n \le 0.2(106) + 24 = 21.2 + 24 = 45.2$, то есть $n=45$. Сумма $N = 45 + 106 = 151$. Проверим ограничения для $M_{blue}=106$: $n=45$ чисел, кратных 5, $\le 106$. Они могут существовать (всего таких чисел от -115 до 105: $\frac{105 - (-115)}{5} + 1 = 45$). Для $M_{red} = 2n = 90$: $m=106$ различных четных чисел $\le 90$. Всего четных чисел от -118 до 90: $\frac{90 - (-118)}{2} + 1 = 105$. Мы получили $m=106$, а доступных чисел 105. Значит $m$ должно быть меньше. При $m=105, n=44$ (чтобы удовлетворить $n \le 0.2m+24 \approx 45$): $m \le n+61 \Rightarrow 105 \le 44+61=105$. Это работает. Ответ: а) Да; б) Нет; в) 149 (при $n=44, m=105$).