37. Найдите наименьшее значение функции y = 5^(x^4 - 32x + 45).

Для решения задач на поиск экстремумов показательных функций вида $y = a^{f(x)}$ (где $a > 1$), нужно найти экстремумы показателя степени $f(x)$, так как функция $y = a^{f(x)}$ возрастает вместе со своим аргументом. ### Решение задачи 37 Дана функция: $y = 5^{x^4 - 32x + 45}$. 1. Найдем минимум показателя $f(x) = x^4 - 32x + 45$. Возьмем производную: $f'(x) = 4x^3 - 32$. 2. Найдем критические точки: $4x^3 - 32 = 0 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$. 3. Проверим знак производной: при $x < 2$ производная отрицательна, при $x > 2$ — положительна. Значит, в точке $x = 2$ достигается минимум. 4. Вычислим значение показателя в этой точке: $f(2) = 2^4 - 32 \cdot 2 + 45 = 16 - 64 + 45 = -3$. 5. Найдем наименьшее значение функции: $y_{min} = 5^{-3} = \frac{1}{125} = 0,008$. **Ответ: 0,008** ### Решение задачи 38 Дана функция: $y = 4^{8x^3 - x^4 - 434}$. 1. Найдем максимум показателя $f(x) = 8x^3 - x^4 - 434$. Возьмем производную: $f'(x) = 24x^2 - 4x^3 = 4x^2(6 - x)$. 2. Критические точки: $x = 0$ и $x = 6$. Исследуем их: - При $x < 0$ производная положительна. - При $0 < x < 6$ производная положительна. - При $x > 6$ производная отрицательна. Значит, $x = 6$ — точка максимума. 3. Вычислим значение показателя в этой точке: $f(6) = 8 \cdot 6^3 - 6^4 - 434 = 8 \cdot 216 - 1296 - 434 = 1728 - 1296 - 434 = -2$. 4. Найдем наибольшее значение функции: $y_{max} = 4^{-2} = \frac{1}{16} = 0,0625$. **Ответ: 0,0625**