Задача 14. Решите уравнение x^4 + 4x - 1 = 0.

Для решения уравнения $x^4 + 4x - 1 = 0$ воспользуемся методом Феррари, который заключается в дополнении уравнения до полного квадрата. 1. Перенесем свободный член вправо: $x^4 = 1 - 4x$ 2. Добавим к обеим частям $2yx^2 + y^2$, где $y$ — вспомогательная переменная, чтобы левая часть стала полным квадратом: $x^4 + 2yx^2 + y^2 = 2yx^2 - 4x + 1 + y^2$ $(x^2 + y)^2 = 2yx^2 - 4x + (y^2 + 1)$ 3. Чтобы правая часть также стала полным квадратом вида $(Ax + B)^2$, её дискриминант должен быть равен 0: $D = (-4)^2 - 4 \cdot (2y) \cdot (y^2 + 1) = 0$ $16 - 8y(y^2 + 1) = 0$ $16 - 8y^3 - 8y = 0$ $y^3 + y - 2 = 0$ 4. Очевидно, что $y = 1$ является корнем этого уравнения ($1^3 + 1 - 2 = 0$). 5. Подставим $y = 1$ в наше уравнение: $(x^2 + 1)^2 = 2x^2 - 4x + 2$ $(x^2 + 1)^2 = 2(x^2 - 2x + 1)$ $(x^2 + 1)^2 = 2(x - 1)^2$ 6. Извлечем квадратный корень из обеих частей: $x^2 + 1 = \pm \sqrt{2}(x - 1)$ Это дает два квадратных уравнения: а) $x^2 + 1 = \sqrt{2}x - \sqrt{2} \implies x^2 - \sqrt{2}x + (1 + \sqrt{2}) = 0$ б) $x^2 + 1 = -\sqrt{2}x + \sqrt{2} \implies x^2 + \sqrt{2}x + (1 - \sqrt{2}) = 0$ 7. Решим уравнения через дискриминант: Для (а): $D = (-\sqrt{2})^2 - 4(1 + \sqrt{2}) = 2 - 4 - 4\sqrt{2} = -2 - 4\sqrt{2} < 0$. Корни комплексные: $x = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{2 + 4\sqrt{2}}}{2}$. Для (б): $D = (\sqrt{2})^2 - 4(1 - \sqrt{2}) = 2 - 4 + 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 2 > 0$. $x = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2} - 2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\sqrt{2} - 0.5}$. **Ответ:** $x_{1,2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\sqrt{2} - 0.5}$; $x_{3,4} = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{2 + 4\sqrt{2}}}{2}$.