13 а) Решите уравнение: 4 * cos^2 x * sin x + sqrt(12) = sqrt(12) sin^2 x.

Давай решим уравнение шаг за шагом. ### а) Решение уравнения Дано уравнение: $4 \cos^2 x \sin x + \sqrt{12} = \sqrt{12} \sin^2 x$ 1. Преобразуем $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $4 (1 - \sin^2 x) \sin x + \sqrt{12} - \sqrt{12} \sin^2 x = 0$ 2. Раскроем скобки и упростим: $4 \sin x - 4 \sin^3 x + \sqrt{12} - \sqrt{12} \sin^2 x = 0$ Заметим, что $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. $-4 \sin^3 x - 2\sqrt{3} \sin^2 x + 4 \sin x + 2\sqrt{3} = 0$ Разделим на $-2$ для удобства: $2 \sin^3 x + \sqrt{3} \sin^2 x - 2 \sin x - \sqrt{3} = 0$ 3. Сгруппируем слагаемые: $(2 \sin^3 x - 2 \sin x) + (\sqrt{3} \sin^2 x - \sqrt{3}) = 0$ $2 \sin x (\sin^2 x - 1) + \sqrt{3} (\sin^2 x - 1) = 0$ $(2 \sin x + \sqrt{3})(\sin^2 x - 1) = 0$ 4. Теперь у нас два случая: - $2 \sin x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ - $\sin^2 x - 1 = 0 \Rightarrow \sin^2 x = 1 \Rightarrow \sin x = \pm 1$ $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ ### б) Отбор корней на промежутке $[\frac{3\pi}{2}; 3\pi]$ Рассмотрим корни на числовой окружности: 1. Серия $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$: - При $n=1$: $\frac{3\pi}{2} \in [\frac{3\pi}{2}; 3\pi]$ (подходит). - При $n=2$: $\frac{5\pi}{2} \in [\frac{3\pi}{2}; 3\pi]$ (подходит). 2. Серия $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$ (точки $-\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{2\pi}{3}$): - Ищем точки в заданном промежутке: - Для $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \in [\frac{3\pi}{2}; 3\pi]$ (подходит, т.к. $\frac{10\pi}{6} < \frac{10\pi}{6} + \dots$ - это верное значение). - Для $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$ (не подходит, меньше). - Для $-\frac{2\pi}{3} + 3\pi = \frac{7\pi}{3} \in [\frac{3\pi}{2}; 3\pi]$ (подходит). **Ответ:** а) $(-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi n, k,n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{3}; \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{3}$.