48. Найдите наибольшее целое значение функции y = x^3 * e^{2-x}

Для решения этих задач воспользуемся тем, что области значений функций синуса и косинуса ограничены отрезком $[-1, 1]$. Если возвести их в четную степень, область значений становится $[0, 1]$. ### Задача 48 Найти наибольшее целое значение функции $y = x^3 \cdot e^{2-x}$. Найдем производную функции: $y' = 3x^2 e^{2-x} - x^3 e^{2-x} = x^2 e^{2-x}(3-x)$. Критическая точка $x=3$. При $x < 3$ функция растет, при $x > 3$ убывает. Максимум в точке $x=3$: $y(3) = 27 \cdot e^{-1} = 27/e \approx 27/2,718 \approx 9,9$. Наибольшее целое значение — 9. ### Задача 51 Найти наименьшее значение функции $y = \cos^4 \frac{22\pi}{4x^3 - x^4 - 60}$. Поскольку $y = \cos^4(\alpha)$, то $y \in [0, 1]$. Наименьшее возможное значение равно 0, если аргумент косинуса равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$. Проверим, может ли знаменатель $f(x) = 4x^3 - x^4 - 60$ принимать такие значения, чтобы дробь стала равна $\pi/2$. Исследуем $f(x) = -x^4 + 4x^3 - 60$. Максимум функции при $x=3$: $f(3) = -81 + 108 - 60 = -33$. Так как знаменатель всегда отрицателен, а аргумент косинуса может принимать любое значение (функция непрерывна на всей области определения), то выражение $\frac{22\pi}{4x^3 - x^4 - 60}$ может принимать значение $\pi/2 + \pi k$. Следовательно, косинус может равняться 0. **Ответ: 0.** ### Задача 52 Найти наибольшее значение функции $y = \sin^4 \frac{24\pi}{24x^4 - x^6 - 2120}$. Функция $y = \sin^4(\alpha)$ принимает значения в диапазоне $[0, 1]$. Наибольшее значение равно 1, если аргумент синуса равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$. Знаменатель $f(x) = 24x^4 - x^6 - 2120$. Исследуем его поведение: $f'(x) = 96x^3 - 6x^5 = 6x^3(16 - x^2)$. Экстремумы в $0, 4, -4$. Максимум при $x=4$: $f(4) = 24(256) - 4096 - 2120 = 6144 - 4096 - 2120 = -72$. Так как знаменатель всегда отрицателен, функция аргумента синуса будет непрерывной и принимать различные значения, включая $\pi/2$. Следовательно, синус может равняться 1. **Ответ: 1.**