Найти значение суммы $\sum_{k=1}^{2026} \left(\cos \frac{2\pi k}{2026} + \sin \frac{2\pi k}{2026}\right)$.

Для решения суммы $\sum_{k=1}^{n} \left(\cos \frac{2\pi k}{n} + \sin \frac{2\pi k}{n}\right)$, где $n = 2026$, разложим выражение на две суммы: $S = \sum_{k=1}^{n} \cos \frac{2\pi k}{n} + \sum_{k=1}^{n} \sin \frac{2\pi k}{n}$ Это суммы действительных и мнимых частей корней из единицы степени $n$. Известно свойство корней $n$-й степени из единицы: сумма всех $n$-х корней из единицы равна нулю: $\sum_{k=1}^{n} e^{i \frac{2\pi k}{n}} = \sum_{k=1}^{n} \left(\cos \frac{2\pi k}{n} + i \sin \frac{2\pi k}{n}\right) = 0$ Отсюда следует, что сумма действительных частей равна 0 и сумма мнимых частей равна 0: 1. $\sum_{k=1}^{n} \cos \frac{2\pi k}{n} = 0$ 2. $\sum_{k=1}^{n} \sin \frac{2\pi k}{n} = 0$ Следовательно, общая сумма $S = 0 + 0 = 0$. **Ответ: 0**