Найдите наименьшее значение функции y = 3 cos x - 5 x + 5 на отрезке [ - 3 Γ / 2 ; 0 ] .

Question

Вопрос:

Найдите наименьшее значение функции y = 3 cos x - 5 x + 5 на отрезке [ - 3 Γ / 2 ; 0 ] .

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для нахождения наименьшего значения функции $y = 3\cos x - 5x + 5$ на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; 0]$ найдем производную функции: $y' = (3\cos x - 5x + 5)' = -3\sin x - 5$ Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $-3\sin x - 5 = 0$ $-3\sin x = 5$ $\sin x = -\frac{5}{3}$ Так как значение $\sin x$ должно лежать в пределах $[-1; 1]$, а $|-\frac{5}{3}| > 1$, уравнение не имеет корней. Это значит, что функция монотонна на всей области определения (в данном случае она убывает, так как $y' = -3\sin x - 5 < 0$ при любых $x$, ведь $\sin x \ge -1$, значит $-3\sin x \le 3$, и $-3\sin x - 5 \le 3 - 5 = -2 < 0$). Раз функция монотонно убывает, то наименьшее значение будет достигаться на правом конце отрезка, то есть при $x = 0$. Вычислим значение функции в точке $x = 0$: $y(0) = 3\cos(0) - 5(0) + 5 = 3 \cdot 1 - 0 + 5 = 8$. **Ответ: 8.**

Найдите наименьшее значение функции y = 3 cos x - 5 x + 5 на отрезке [ - 3 Γ / 2 ; 0 ] .

Ответ ассистента

Другие решения