в треугольнике АВС на прямых его сторон взяты точки, длины образовавшихся отрезков представлены на чертеже. Площадь заштрихованного треугольника равна 18. Найдите площадь треугольника АВС

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \alpha$. 1. Пусть $\angle C = \gamma$. Тогда площади треугольников $MNC$ и $MBC$ относятся как произведения сторон, выходящих из угла $C$: $\frac{S_{MNC}}{S_{MBC}} = \frac{CN \cdot CM}{CB \cdot CM} = \frac{CN}{CB}$. Это не совсем удобно, так как $M$ не на той же прямой. Давайте использовать формулу синусов для треугольников $MNC$ и $MBC$ с общим углом $C$: $S_{MNC} = \frac{1}{2} \cdot CN \cdot CM \cdot \sin C$ $S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot CB \cdot CM \cdot \sin C$ Тогда $\frac{S_{MNC}}{S_{MBC}} = \frac{CN}{CB} = \frac{5x}{5x+3x+?}$ — это путь сложный. Проще выразить площадь через $\angle C$: $S_{MNC} = \frac{1}{2} \cdot CN \cdot CM \cdot \sin \angle C$ $S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot CB \cdot CM \cdot \sin \angle C$ (Нет, это ошибка, $M$ вершина, $C$ угол). Рассмотрим треугольник $MNC$ и $MBC$. У них общий угол $C$. Площадь $S_{MNC} = \frac{1}{2} \cdot CN \cdot CM \cdot \sin C$. Площадь $S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot CB \cdot CM \cdot \sin C$. Отношение: $\frac{S_{MNC}}{S_{MBC}} = \frac{CN}{CB} = \frac{5x}{8x} = \frac{5}{8}$. $S_{MBC} = \frac{8}{5} S_{MNC} = \frac{8}{5} \cdot 18 = 28.8$. Далее, рассмотрим треугольник $MBC$. В нем $K$ делит $BC$ в отношении $BK:KC = 2y:y = 2:1$. То есть $BC = 3y$. Площадь $S_{MKC} = \frac{KC}{BC} \cdot S_{MBC} = \frac{1}{3} \cdot 28.8 = 9.6$. Мы знаем $S_{MNC} = 18$ и $S_{MKC} = 9.6$. Площадь $MNK$ (заштрихованная часть) = $S_{MNC} - S_{MKC} = 18 - 9.6 = 8.4$. Однако, по условию задачи заштрихованная область $AMN$ имеет площадь $18$. Пусть $S_{AMN} = 18$. Отношение сторон: $CN = 5x$, $AN = 3x$. Значит, $AC = 8x$. $\frac{S_{AMN}}{S_{AMC}} = \frac{AN}{AC} = \frac{3x}{8x} = \frac{3}{8} \Rightarrow S_{AMC} = 18 \cdot \frac{8}{3} = 48$. Теперь рассмотрим $\triangle ABC$. В нем $BC = 3y, CK = y, BK = 2y$. $S_{ABC} = S_{AMC} + S_{ABM}$ (но $M$ вне $ABC$). Давайте вернемся к началу: $S_{AMN} = 18$. $AN = 3x, NC = 5x$. $AC = 8x$. $\frac{S_{AMN}}{S_{AMC}} = \frac{AN}{AC} = \frac{3}{8}$. $S_{AMC} = \frac{18 \cdot 8}{3} = 48$. В треугольнике $AMC$ точка $K$ делит $BC$. Это внешняя точка для $AMC$. Так как $S_{AMC} = 48$, а $S_{AMN} = 18$, то $S_{MNC} = 48 - 18 = 30$. Отношение $S_{MNC} / S_{MKC} = NC / KC$. Но здесь разные основания. Отношение $S_{MNC} / S_{MBC} = CN / CB = 5x / (3y+y)$? Нет. Правильный подход через отношение площадей: $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC}$. Из подобия или теоремы Менелая для треугольника $ABC$ и прямой $MNK$: $(AM/MB) \cdot (BK/KC) \cdot (CN/NA) = 1$. $(AM/MB) \cdot (2y/y) \cdot (5x/3x) = 1$. $(AM/MB) \cdot 2 \cdot (5/3) = 1 \Rightarrow AM/MB = 3/10$. $AM = 3k, MB = 10k \Rightarrow AB = 7k$. $S_{AMN} / S_{MBC} = (AM/MB) \cdot (AN/AC) = (3/10) \cdot (5/8) = 15/80 = 3/16$. $18 / S_{MBC} = 3/16 \Rightarrow S_{MBC} = (18 \cdot 16) / 3 = 96$. $S_{ABC} = S_{MBC} \cdot (AB / MB) = 96 \cdot (7/10) = 67.2$. Ответ: 67.2