10. Дизайнер, чтобы дополнить прекрасный рисунок в виде равнобедренного треугольника на стене заказчика, решил провести прямую.

Пусть исходный равнобедренный треугольник имеет углы при основании $\alpha$ и угол при вершине $\beta$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, имеем: $2\alpha + \beta = 180^\circ$. Дизайнер проводит прямую из вершины при основании, делящую треугольник на два новых равнобедренных треугольника. Пусть эта прямая делит угол $\alpha$ на две части: $\alpha_1$ и $\alpha_2$, так что $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$. Рассмотрим возможные случаи для углов новых треугольников: 1. Один из полученных треугольников имеет углы $(\alpha, x, x)$, где $x$ — неизвестный угол. В силу свойств равнобедренного треугольника, возможны варианты для основания и боковых сторон. 2. Геометрическая задача о "золотом треугольнике" приводит к уравнению: $3\alpha = 180^\circ$ или $4\alpha = 180^\circ$ (в зависимости от того, как именно проходит прямая). Наиболее известная конфигурация для такой задачи — деление треугольника с углами $72^\circ, 72^\circ, 36^\circ$ прямой, отсекающей треугольник с углами $72^\circ, 36^\circ, 72^\circ$ и $36^\circ, 36^\circ, 108^\circ$ (но здесь один из них не равнобедренный) или $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$ и $36^\circ, 36^\circ, 108^\circ$ не подходит. Верное решение приводит к углам: - Вариант 1: $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$. - Вариант 2: $36^\circ, 36^\circ, 108^\circ$. Ответ: Углы исходного треугольника равны $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$ или $36^\circ, 36^\circ, 108^\circ$.