Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 134°, угол CAD равен 81°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

### Задача 3 Так как четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Значит, $\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$. В треугольнике $ACD$ сумма углов равна $180^\circ$: $\angle ACD = 180^\circ - \angle CAD - \angle ADC = 180^\circ - 81^\circ - 46^\circ = 53^\circ$. Углы $ABD$ и $ACD$ опираются на одну и ту же дугу $AD$, поэтому они равны: $\angle ABD = \angle ACD = 53^\circ$. **Ответ: 53** ### Задача 4 $AC$ и $BD$ — диаметры, значит, они пересекаются в центре $O$ и делятся точкой $O$ пополам. Треугольники $AOB$ и $COD$ равны по двум сторонам и углу между ними (или как вертикальные). Углы $AOD$ и $BOC$ — вертикальные, $\angle AOD = \angle BOC = 114^\circ$. Также $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$. Рассмотрим треугольник $BOC$: он равнобедренный ($OB=OC=R$), значит, углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - 114^\circ) / 2 = 66^\circ / 2 = 33^\circ$. Угол $\angle ACB$ — это и есть $\angle OCB = 33^\circ$. **Ответ: 33** ### Задача 5 $AC$ и $BD$ — диаметры, $O$ — центр окружности. Треугольник $BOC$ равнобедренный, так как $OB = OC = R$. Углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB = 54^\circ$. Тогда угол $\angle BOC = 180^\circ - 54^\circ - 54^\circ = 72^\circ$. Углы $AOD$ и $BOC$ вертикальные, поэтому они равны: $\angle AOD = \angle BOC = 72^\circ$. **Ответ: 72** ### Задача 6 Так как центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, то $AB$ — диаметр окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой ($90^\circ$). Значит, $\angle ACB = 90^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Сумма острых углов равна $90^\circ$: $\angle ABC = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ$. **Ответ: 46**