1. log_5 x > log_5 (3x - 4)

Привет! Давай решим эти логарифмические неравенства. Помним, что для любого неравенства вида $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ (или $<$, $\le$, $\ge$) важно учитывать область допустимых значений (ОДЗ): $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$. Если основание $a > 1$, знак сохраняется, если $0 < a < 1$, знак меняется. ### Решение: 1. $\log_5 x > \log_5 (3x - 4)$ ОДЗ: $x > 0$ и $3x - 4 > 0 \implies x > 4/3$. Так как $5 > 1$, знак сохраняем: $x > 3x - 4 \implies 2x < 4 \implies x < 2$. С учетом ОДЗ: **$4/3 < x < 2$.** 2. $\log_6 (2x - 1) < \log_6 x$ ОДЗ: $2x - 1 > 0 \implies x > 0,5$ и $x > 0 \implies x > 0,5$. $2x - 1 < x \implies x < 1$. С учетом ОДЗ: **$0,5 < x < 1$.** 3. $\log_2 (5x - 9) \le \log_2 (3x + 1)$ ОДЗ: $5x - 9 > 0 \implies x > 1,8$ и $3x + 1 > 0 \implies x > -1/3$. Общее: $x > 1,8$. $5x - 9 \le 3x + 1 \implies 2x \le 10 \implies x \le 5$. С учетом ОДЗ: **$1,8 < x \le 5$.** 4. $\log_4 (12x + 2) \ge \log_4 (10x + 16)$ ОДЗ: $12x + 2 > 0 \implies x > -1/6$ и $10x + 16 > 0 \implies x > -1,6$. Общее: $x > -1/6$. $12x + 2 \ge 10x + 16 \implies 2x \ge 14 \implies x \ge 7$. С учетом ОДЗ: **$x \ge 7$.** 5. $\log_{1/4} (-x - 6) \le \log_{1/4} (6 - x^2)$ ОДЗ: $-x - 6 > 0 \implies x < -6$ и $6 - x^2 > 0 \implies x^2 < 6 \implies -\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$. Пересечение: $x < -6$ и $(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$ — пустое множество. **Решений нет.** 6. $\log_{0,5} (x^2 - 27) > \log_{0,5} 6x$ ОДЗ: $x^2 - 27 > 0$ и $6x > 0 \implies x > 0$ и $x^2 > 27$. Это $x > \sqrt{27} \approx 5,2$. Основание $0,5 < 1$, знак меняем: $x^2 - 27 < 6x \implies x^2 - 6x - 27 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 6x - 27 = 0$: $D = 36 - 4(-27) = 144 = 12^2$. $x_1 = (6+12)/2 = 9$, $x_2 = (6-12)/2 = -3$. Неравенство: $-3 < x < 9$. С учетом ОДЗ ($x > \sqrt{27}$): **$\sqrt{27} < x < 9$.** 7. $\log_3 x > \log_3 7 - \log_3 8 \implies \log_3 x > \log_3 (7/8)$ ОДЗ: $x > 0$. $x > 7/8$. **Ответ: $x > 7/8$.** 8. $3 \log_{1/3} x < \log_{1/3} 9 + \log_{1/3} 3 \implies \log_{1/3} x^3 < \log_{1/3} 27$ ОДЗ: $x > 0$. Основание $1/3 < 1$, меняем знак: $x^3 > 27 \implies x > 3$. **Ответ: $x > 3$.** 9. $\log_5 x - \log_5 35 \le \log_5 (1/7)$ $\log_5 (x/35) \le \log_5 (1/7)$ ОДЗ: $x > 0$. $x/35 \le 1/7 \implies x \le 5$. С учетом ОДЗ: **$0 < x \le 5$.** 10. $4 \log_6 x \ge \log_6 8 + \log_6 2 \implies \log_6 x^4 \ge \log_6 16$ ОДЗ: $x > 0$. $x^4 \ge 16 \implies x^4 \ge 2^4 \implies |x| \ge 2$. С учетом $x > 0$: **$x \ge 2$.**