Площадь основания правильной треугольной пирамиды равна 36, а её боковая поверхность равна 60. Найти объём пирамиды.

Для решения задачи воспользуемся формулами для правильной треугольной пирамиды. Пусть $a$ — сторона основания, $l$ — апофема боковой грани, $H$ — высота пирамиды, $r$ — радиус вписанной в основание окружности (апофема основания). 1. Находим сторону основания $a$. Площадь равностороннего треугольника в основании: $S_{base} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 36$. Отсюда $a^2 = \frac{144}{\sqrt{3}} = 48\sqrt{3}$. 2. Находим апофему боковой грани $l$. Боковая поверхность $S_{lat} = \frac{1}{2} P \cdot l = \frac{1}{2} (3a) \cdot l = 60$. Следовательно, $\frac{3a \cdot l}{2} = 60 \implies 3a \cdot l = 120 \implies l = \frac{40}{a}$. 3. Находим апофему основания $r$. Для правильного треугольника $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$, значит $r^2 = \frac{a^2}{12} = \frac{48\sqrt{3}}{12} = 4\sqrt{3}$. 4. Находим высоту пирамиды $H$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, апофемой основания и апофемой боковой грани ($H^2 + r^2 = l^2$): $H^2 = l^2 - r^2 = (\frac{40}{a})^2 - 4\sqrt{3} = \frac{1600}{a^2} - 4\sqrt{3} = \frac{1600}{48\sqrt{3}} - 4\sqrt{3}$. Упростим выражение: $\frac{100}{3\sqrt{3}} - 4\sqrt{3} = \frac{100 - 4\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{100 - 36}{3\sqrt{3}} = \frac{64}{3\sqrt{3}}$. Значит, $H = \sqrt{\frac{64}{3\sqrt{3}}} = \frac{8}{\sqrt{3\sqrt{3}}}$. 5. Вычисляем объём $V = \frac{1}{3} S_{base} H$: $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot \frac{8}{\sqrt{3\sqrt{3}}} = 12 \cdot \frac{8}{\sqrt{3\sqrt{3}}} = \frac{96}{\sqrt{3\sqrt{3}}}$. Ответ: $V = \frac{96}{\sqrt[4]{27}}$.