Дана правильная четырехугольная пирамида. Площадь основания пирамиды равна 36 см², площадь боковой поверхности – 48 см². Найдите высоту пирамиды.

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильной четырехугольной пирамиды: 1. **Находим сторону основания.** Так как пирамида правильная четырехугольная, в основании лежит квадрат. Площадь основания $S_{осн} = a^2 = 36 \text{ см}^2$, где $a$ — сторона основания. Значит, $a = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$. 2. **Находим апофему боковой грани (высоту боковой грани).** Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ состоит из четырех равных треугольников. Формула боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$, где $P_{осн}$ — периметр основания, $l$ — апофема. Периметр основания $P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}$. Тогда $48 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot l \Rightarrow 48 = 12 \cdot l \Rightarrow l = 4 \text{ см}$. 3. **Находим высоту пирамиды.** Высота пирамиды $H$, апофема $l$ и половина стороны основания $\frac{a}{2}$ образуют прямоугольный треугольник, где апофема является гипотенузой. По теореме Пифагора: $H^2 + (\frac{a}{2})^2 = l^2$. Половина стороны основания: $\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}$. $H^2 + 3^2 = 4^2$ $H^2 + 9 = 16$ $H^2 = 7$ $H = \sqrt{7} \text{ см}$. **Ответ:** \sqrt{7} \text{ см}.