2. Решите неравенство ( 6^{x+1}-12)log_{3}(4x-1)<0.

Давай разберем эти задачи по порядку. ### Задача 2 $(6^{x+1}-12)\log_3(4x-1)<0$ 1. ОДЗ: $4x-1 > 0 \Rightarrow x > 0.25$. 2. Множители: - $6^{x+1}-12 = 0 \Rightarrow 6^{x+1} = 12 \Rightarrow x+1 = \log_6 12 \Rightarrow x = \log_6 12 - 1 = \log_6 12 - \log_6 6 = \log_6 2 \approx 0.387$. - $\log_3(4x-1) = 0 \Rightarrow 4x-1 = 1 \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = 0.5$. 3. Метод интервалов: - Точки: $0.25$ (выколотая), $\log_6 2 \approx 0.387$, $0.5$. - Проверяем знаки на $(0.5; +\infty)$: $(+)(+) > 0$. - На $(\log_6 2; 0.5)$: $(+)(-) < 0$. - На $(0.25; \log_6 2)$: $(-)(-) > 0$. **Ответ:** $x \in (\log_6 2; 0.5)$. ### Задача 3 $\frac{x^2 - 6x + 9}{(x-3)(x-5)} \geq -1, x \in [2; 7]$ 1. Преобразуем: $\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x-5)} \geq -1$. 2. При $x \neq 3$: $\frac{x-3}{x-5} + 1 \geq 0 \Rightarrow \frac{x-3+x-5}{x-5} \geq 0 \Rightarrow \frac{2x-8}{x-5} \geq 0$. 3. Корни: $x=4$ и $x=5$ (выколотая). Решение: $(-\infty; 4] \cup (5; +\infty)$. 4. Учитывая $x \in [2; 7]$ и $x \neq 3$: $[2; 3) \cup (3; 4] \cup (5; 7]$. 5. Целые числа: $2, 4, 6, 7$. **Ответ:** 4 целых решения. ### Задача 1 (Часть 3) $49^x - 9\cdot 7^x + 7 = -13x \cdot \frac{x^2 - 6x + 12}{(x-2)^3 + 8}$ 1. Знаменатель: $(x-2)^3+8 = (x-2+2)((x-2)^2 - 2(x-2) + 4) = x(x^2-4x+4-2x+4+4) = x(x^2-6x+12)$. 2. Уравнение принимает вид: $7^{2x} - 9\cdot 7^x + 7 = -13x \cdot \frac{x^2-6x+12}{x(x^2-6x+12)}$. 3. Сокращаем на $x^2-6x+12$ (всегда $>0$): $7^{2x} - 9\cdot 7^x + 7 = -13x/x = -13$, при $x \neq 0$. 4. $7^{2x} - 9\cdot 7^x + 20 = 0$. Пусть $t=7^x$ ($t>0$): $t^2 - 9t + 20 = 0$. 5. $(t-4)(t-5)=0 \Rightarrow t=4$ или $t=5$. 6. $7^x=4 \Rightarrow x=\log_7 4$; $7^x=5 \Rightarrow x=\log_7 5$. Оба корня $\neq 0$. **Ответ:** $\log_7 4; \log_7 5$. ### Задача 2 (Часть 3) $\log_4^2(16 - x^2) - 3\log_4(16 - x^2) + 2 \geq 0$ 1. ОДЗ: $16-x^2 > 0 \Rightarrow x \in (-4; 4)$. 2. Пусть $y = \log_4(16-x^2)$. $y^2 - 3y + 2 \geq 0 \Rightarrow (y-1)(y-2) \geq 0$. 3. $y \leq 1$ или $y \geq 2$. 4. $\log_4(16-x^2) \leq 1 \Rightarrow 0 < 16-x^2 \leq 4 \Rightarrow x^2 \geq 12$ или $x^2 < 16$. 5. $x \in (-4; -2\sqrt{3}] \cup [2\sqrt{3}; 4)$. 6. $\log_4(16-x^2) \geq 2 \Rightarrow 16-x^2 \geq 16 \Rightarrow x^2 \leq 0 \Rightarrow x = 0$. **Ответ:** $x \in (-4; -2\sqrt{3}] \cup \{0\} \cup [2\sqrt{3}; 4)$.