12.В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что HC=12 см и BC=BM. Найдите AH.

### Задача 12 Пусть $AM = MC = x$, тогда $AC = 2x$. Точка $H$ лежит на $AC$ так, что $HC = 12$, следовательно, $AH = AC - HC = 2x - 12$. Также $MC = MH + HC$, значит $x = MH + 12$, откуда $MH = x - 12$. В треугольнике $BHC$ (прямоугольный, так как $BH \perp AC$): $BH^2 = BC^2 - HC^2 = BC^2 - 144$. В треугольнике $BMH$ (прямоугольный): $BH^2 = BM^2 - MH^2 = BM^2 - (x - 12)^2$. Так как $BM = BC$, приравняем выражения для $BH^2$: $BC^2 - 144 = BC^2 - (x - 12)^2$ $144 = (x - 12)^2$ $x - 12 = 12$ (так как $x > 12$) $x = 24$. Тогда $AH = 2x - 12 = 2 \cdot 24 - 12 = 48 - 12 = 36$ см. **Ответ: 36 см.** ### Задача 13 Пусть углы треугольника равны $\alpha, \alpha, \beta$. Сумма углов $2\alpha + \beta = 180^\circ$. Возможны два случая соотношения $2:5$: 1) $\alpha / \beta = 2 / 5 \implies \beta = 2,5\alpha$. Подставим в уравнение: $2\alpha + 2,5\alpha = 180^\circ \implies 4,5\alpha = 180^\circ \implies \alpha = 40^\circ$. Углы: $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$. (Треугольник тупоугольный, удовлетворяет условию). 2) $\beta / \alpha = 2 / 5 \implies \beta = 0,4\alpha$. Подставим: $2\alpha + 0,4\alpha = 180^\circ \implies 2,4\alpha = 180^\circ \implies \alpha = 75^\circ$. Углы: $75^\circ, 75^\circ, 30^\circ$. (Треугольник остроугольный, не подходит). **Ответ: 40°, 40°, 100°.** ### Задача 14 Пусть острые углы треугольника равны $\alpha$ и $\beta$, где $\alpha < \beta$. Тогда внешние углы при них равны $180^\circ - \alpha$ и $180^\circ - \beta$. Так как $180^\circ - \alpha > 180^\circ - \beta$, то по условию: $(180^\circ - \alpha) / (180^\circ - \beta) = 8 / 5$. Также $\alpha + \beta = 90^\circ \implies \beta = 90^\circ - \alpha$. Подставим: $(180^\circ - \alpha) / (180^\circ - (90^\circ - \alpha)) = 8 / 5$ $(180^\circ - \alpha) / (90^\circ + \alpha) = 8 / 5$ $5(180^\circ - \alpha) = 8(90^\circ + \alpha)$ $900^\circ - 5\alpha = 720^\circ + 8\alpha$ $13\alpha = 180^\circ$ $\alpha = 180 / 13 \approx 13,85^\circ$. **Ответ: 180/13°.**