8. На рисунке ∠ABC равен:

### Решение задач по геометрии **8. На рисунке $\angle ABC$ равен:** В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($ \angle C = 90^{\circ} $) стороны $AC$ и $CB$ равны (отмечены штрихами), значит треугольник равнобедренный прямоугольный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, а сумма углов треугольника $180^{\circ}$. $\angle ABC = (180^{\circ} - 90^{\circ}) / 2 = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ}$. **Ответ: б) $45^{\circ}$.** **9. Прямые $m$ и $n$ — параллельны, $p$ — секущая. Разность двух углов, образованных этими прямыми, равна $130^{\circ}$. Тогда отношение большего угла к меньшему будет равно:** При пересечении параллельных прямых секущей образуются углы, сумма которых $180^{\circ}$ (односторонние) или они равны (соответственные). Рассмотрим смежные углы: пусть один угол $x$, тогда другой $180^{\circ} - x$. Разность: $x - (180^{\circ} - x) = 130^{\circ} \Rightarrow 2x = 310^{\circ} \Rightarrow x = 155^{\circ}$. Второй угол: $180^{\circ} - 155^{\circ} = 25^{\circ}$. Отношение: $155 / 25 = 6,2$. **Ответ: в) $6,2$.** **10. Если биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна основанию треугольника, то угол при основании этого треугольника равен:** Пусть угол при основании $\alpha$. Тогда угол при вершине $180^{\circ} - 2\alpha$. Биссектриса делит угол $\alpha$ пополам ($\alpha/2$). В треугольнике, образованном биссектрисой, боковой стороной и основанием, углы равны $\alpha/2, \alpha$ и $180^{\circ} - 3\alpha/2$. По условию биссектриса равна основанию, значит треугольник равнобедренный, $\alpha = 180^{\circ} - 3\alpha/2 \Rightarrow 5\alpha/2 = 180^{\circ} \Rightarrow \alpha = 72^{\circ}$. **Ответ: г) $72^{\circ}$.** **11. Если высоты равнобедренного треугольника, проведенные из вершины при основании и из вершины, противолежащей основанию, при пересечении образуют угол в $140^{\circ}$, то угол, противолежащий основанию, будет равен:** Пусть угол при основании $\alpha$, угол при вершине $\beta$. Высота из основания к боковой стороне образует угол $90^{\circ} - \beta$ с боковой стороной. Угол между высотами (внутри треугольника) равен $180^{\circ} - (90^{\circ} - \alpha) = 90^{\circ} + \alpha$ (тупой) или, если дан угол $140^{\circ}$ снаружи, то $180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}$ внутри. Угол при вершине $\beta = 180^{\circ} - 2\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой к боковой стороне, угол при основании равен $90^{\circ} - \beta$. Из пересечения высот получаем, что угол при вершине равен $180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$. **Ответ: а) $40^{\circ}$.** **12. Равносторонний треугольник тремя отрезками можно разделить самое большое на:** Разделить на 6 равных треугольников можно, проведя три медианы/высоты/биссектрисы, которые пересекаются в одной точке. **Ответ: г) 6.** **13. У равнобедренных треугольников $ABC$ и $MNK$ равны основания $AB$ и $MN$. Данные треугольники будут равными, если:** Условие равенства треугольников: по трем сторонам (три стороны), по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам. Если основания равны, то для равенства нужно равенство боковых сторон или углов. **Ответ: б) $AC = MK$ (по трем сторонам).**