Вариант А 2 1. Дано: AB = CD; ∠ABC = 65°; ∠ADC = 45°; ∠AOC = 110°. Найти: ∠C. Доказать: ΔABO = ΔDCO.

### Решение задачи 1 Дано: $AB = CD$, $\angle ABC = 65^\circ$, $\angle ADC = 45^\circ$, $\angle AOC = 110^\circ$. Найти: $\angle C$ (в треугольнике $DCO$ это $\angle DCO$). Доказать: $\triangle ABO = \triangle DCO$. 1. Рассмотрим $\triangle ABO$ и $\triangle DCO$. Углы $\angle AOB$ и $\angle DOC$ равны как вертикальные. $\angle AOC = 110^\circ$ — это развернутый угол или пересечение? На рисунке $A, O, D$ и $B, O, C$ лежат на прямых. 2. Так как $\angle AOC = 110^\circ$ (это внешний угол или просто угол?), вероятно, здесь опечатка в условии (сумма $\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$). Если $\angle AOB$ и $\angle DOC$ — вертикальные, то они равны. 3. Для доказательства равенства $\triangle ABO = \triangle DCO$ нужно больше данных (например, параллельность или равенство сторон). С текущими данными ($AB=CD$ и углы) условие задачи кажется некорректным или недостаточным. ### Решение задачи 2 Дано: $\triangle ABC$ равнобедренный, основание $AC$, $\angle A + \angle C = 156^\circ$. Найти: углы $\triangle ABC$. 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. 2. Значит, $2 \cdot \angle A = 156^\circ \implies \angle A = \angle C = 156^\circ / 2 = 78^\circ$. 3. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$. **Ответ: $78^\circ, 78^\circ, 24^\circ$.** ### Решение задачи 3 Дано: $ABC$ и $ADC$ — равнобедренные прямоугольные треугольники ($\angle B = \angle D = 90^\circ$), лежат в разных полуплоскостях относительно $AC$. Доказать: $AB \parallel CD$. 1. Так как $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ равнобедренные и прямоугольные, то $\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ$ и $\angle DAC = \angle DCA = 45^\circ$. 2. Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ — это накрест лежащие углы при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. 3. $\angle BAC = 45^\circ$ и $\angle DCA = 45^\circ$. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны.