7. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 27. Найдите его периметр.

### Решение задач **7. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 27. Найдите его периметр.** По свойству описанного четырехугольника, суммы его противоположных сторон равны. Если суммы двух пар сторон равны, то периметр $P = 2 \times (a + c)$, где $a+c$ — сумма противоположных сторон. $P = 2 \times 27 = 54$. **Ответ: 54.** **8. В четырехугольнике ABCD угол CBD равен 50°, угол ADC равен 60° и угол ABD равен 70°. Найдите угол CAD.** Из условия задачи недостаточно данных для однозначного определения угла CAD, так как положение точек A, B, C, D не фиксировано жестко (например, неизвестно, вписанный ли это четырехугольник или есть ли другие свойства). Однако, если предположить, что ABCD — это вписанный четырехугольник (исходя из типичных школьных задач такого типа, где обычно даются углы, опирающиеся на одни дуги), то: - $\angle CAD$ опирается на дугу $CD$. - $\angle CBD$ опирается на дугу $CD$. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, $\angle CAD = \angle CBD = 50^\circ$. **Ответ: 50°.** **9. Расстояние от центра окружности до прямой равно 7 см, диаметр окружности равен 16 см. Определите, сколько общих точек имеют окружности и прямая.** 1. Радиус окружности $R = \text{диаметр} / 2 = 16 / 2 = 8$ см. 2. Расстояние от центра до прямой $d = 7$ см. 3. Сравним $d$ и $R$: $7 < 8$, то есть $d < R$. Если расстояние от центра до прямой меньше радиуса, прямая является секущей и имеет с окружностью 2 общие точки. **Ответ: 2.** **10. Угол между диаметром AB и хордой AC окружности равен 30°. Через точку C проведена касательная к окружности, которая пересекает прямую AB в точке D. Определите вид треугольника ACD.** 1. $\triangle AOC$ — равнобедренный ($AO=OC=R$), поэтому $\angle OCA = \angle OAC = 30^\circ$. Угол $\angle AOC = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$. 2. Угол $\angle ACD$ — угол между хордой $AC$ и касательной $CD$. Он равен половине дуги $AC$. Дуга $AC = \angle AOC = 120^\circ$, значит $\angle ACD = 120^\circ / 2 = 60^\circ$. 3. В $\triangle ACD$ угол $\angle CAD = 30^\circ$, угол $\angle ACD = 60^\circ$. Тогда угол $\angle ADC = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$. Треугольник прямоугольный, все углы разные ($30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$). **Ответ: в) разносторонний.**