№1. MN и MK отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 5 см. Найти MN и MK, если MO=13 см.

### Решение задачи №1 Дано: радиус окружности $r = OM = 5$ см, расстояние от точки $M$ до центра окружности $O$ равно $MO = 13$ см. $MN$ и $MK$ — касательные. Решение: 1. Радиус $ON$, проведенный в точку касания $N$, перпендикулярен касательной $MN$ (свойство касательной). Значит, $\triangle MON$ — прямоугольный с прямым углом $N$. 2. По теореме Пифагора для $\triangle MON$: $MN = \sqrt{MO^2 - ON^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см. 3. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки, $MN = MK = 12$ см. **Ответ:** 12 см. ### Решение задачи №2 Дано: $\cup AB : \cup AC = 5 : 3$. Угол $\angle BAC = 60^\circ$ (вписанный, опирается на дугу $BC$). Решение: 1. Вписанный угол $\angle BAC = 60^\circ$ опирается на дугу $BC$, значит, градусная мера дуги $BC = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$. 2. Сумма дуг $AB + AC + BC = 360^\circ$. Пусть $AB = 5x$, $AC = 3x$. Тогда $5x + 3x + 120^\circ = 360^\circ$, откуда $8x = 240^\circ$ и $x = 30^\circ$. 3. Дуга $AB = 5 \times 30^\circ = 150^\circ$, дуга $AC = 3 \times 30^\circ = 90^\circ$. 4. $\angle BOC$ — центральный угол, опирающийся на дугу $BC$, значит, он равен градусной мере этой дуги: $\angle BOC = 120^\circ$. 5. $\angle ABC$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $AC$, значит, он равен половине градусной меры этой дуги: $\angle ABC = 90^\circ / 2 = 45^\circ$. **Ответ:** $\angle BOC = 120^\circ$, $\angle ABC = 45^\circ$. ### Решение задачи №3 Дано: хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $F$. $AF = 4$ см, $BF = 16$ см, $CF = DF$. Решение: 1. По свойству пересекающихся хорд: $AF \times BF = CF \times DF$. 2. Так как $CF = DF$, можно обозначить $CF = DF = x$. 3. Тогда $4 \times 16 = x \times x \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = 8$ см. 4. Отрезок $CD = CF + DF = 8 + 8 = 16$ см. **Ответ:** 16 см.