ABCDA1B1C1D1-правильная призма 10. Дано: Sбок = 48, BD = 3√2 Найдите tg ∠B1DC1.

Для решения задачи рассмотрим правильную четырехугольную призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$. 1. Так как призма правильная, её основание — квадрат. Обозначим сторону квадрата основания через $a$, а высоту призмы через $h$. 2. Диагональ квадрата основания $BD$ связана со стороной $a$ соотношением $BD = a\sqrt{2}$. По условию $BD = 3\sqrt{2}$, значит $a\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$, откуда $a = 3$. 3. Площадь боковой поверхности призмы $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$, где $P_{\text{осн}} = 4a = 4 \cdot 3 = 12$. 4. Имеем: $12 \cdot h = 48$, откуда $h = 4$. 5. В треугольнике $B_1DC_1$ ищем тангенс угла $\angle B_1DC_1$. Заметим, что в прямоугольном треугольнике $B_1C_1D$ (угол $\angle B_1C_1D = 90^\circ$): $B_1C_1 = a = 3$, $C_1D = \sqrt{C_1C^2 + CD^2} = \sqrt{h^2 + a^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$. Искомый угол $\angle B_1DC_1$ находится в прямоугольном треугольнике $B_1C_1D$, где катеты $B_1C_1$ и $C_1D$ являются противолежащим и прилежащим соответственно. $\text{tg} \angle B_1DC_1 = \frac{B_1C_1}{C_1D} = \frac{3}{5} = 0,6$. **Ответ: 0,6**