MN и MK — отрезки касательных, проведенных к окружности радиусом 5 см. Найдите MN и MK, если MO = 13 см.

Привет! Давай разберем задачи из твоего варианта. ### Задача 1 **Условие:** $MN$ и $MK$ — отрезки касательных к окружности с центром $O$ и радиусом $R = 5$ см, проведенные из точки $M$. Дано: $MO = 13$ см. Найти: $MN$ и $MK$. **Решение:** 1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, треугольники $\triangle MNO$ и $\triangle MKO$ — прямоугольные (углы при $N$ и $K$ — прямые). 2. По теореме Пифагора для $\triangle MNO$: $MN^2 + NO^2 = MO^2$ $MN^2 + 5^2 = 13^2$ $MN^2 + 25 = 169$ $MN^2 = 144$ $MN = 12$ (см). 3. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, поэтому $MK = MN = 12$ см. **Ответ:** 12 см; 12 см. ### Задача 2 **Условие:** Дано: $\angle UAB = 5 : 3$. Найти: $\angle BOC, \angle ABC$ (Исходя из записи, предполагается отношение дуг или углов треугольника $ABC$, вписанного в окружность. На рисунке угол $CAB = 60^\circ$). **Решение:** Так как на рисунке $\angle CAB = 60^\circ$, а $O$ — центр, то центральный угол $\angle BOC$ опирается на ту же дугу $BC$, что и вписанный угол $\angle BAC$. По теореме о центральном угле: $\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. Второе соотношение $5:3$ в тексте задачи, вероятно, относится к частям дуги или пропорции углов, без уточнения сложно дать точный ответ, но центральный угол $\angle BOC$ определен геометрией рисунка. **Ответ:** $\angle BOC = 120^\circ$. ### Задача 3 **Условие:** Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $F$, так что $AF = 4$ см, $BF = 16$ см, $CF = DF$. Найти $CD$. **Решение:** По свойству пересекающихся хорд: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. $AF \cdot BF = CF \cdot DF$ $4 \cdot 16 = CF \cdot DF$ Так как $CF = DF$, обозначим их за $x$: $64 = x \cdot x$ $x^2 = 64$ $x = 8$ (см). Тогда $CD = CF + DF = 8 + 8 = 16$ (см). **Ответ:** 16 см. ### Задача 4* **Условие:** Окружность с центром $O$ и радиусом $12$ см описана около треугольника $MNK$, $\angle MON = 120^\circ$, $\angle NOK = 90^\circ$. Найти стороны $MN$ и $NK$. **Решение:** 1. Треугольник $MON$ — равнобедренный ($OM = ON = R = 12$ см). По теореме косинусов для $\triangle MON$ со стороной $MN$: $MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 \cdot OM \cdot ON \cdot \cos(120^\circ)$ $MN^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot (-0.5)$ $MN^2 = 144 + 144 + 144 = 432$ $MN = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}$ (см). 2. Треугольник $NOK$ — равнобедренный прямоугольный ($ON = OK = 12$ см). По теореме Пифагора для $\triangle NOK$: $NK^2 = ON^2 + OK^2$ $NK^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288$ $NK = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$ (см). **Ответ:** $MN = 12\sqrt{3}$ см, $NK = 12\sqrt{2}$ см.