1. MN и MK — отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 5 см. Найдите MN и MK, если MO = 13 см.

### Решение задач по геометрии #### Задача 1 По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны: $MN = MK$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MNO$ (где $N$ — точка касания, угол $\angle MNO = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $MN^2 = MO^2 - ON^2$ $MN = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см. Так как $MN = MK$, то $MK = 12$ см. **Ответ:** $MN = 12$ см, $MK = 12$ см. #### Задача 2 На рисунке 861 видно, что $\angle BAC = 60^\circ$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $BC$. Дуга $BC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. Отношение дуг $\cup AB : \cup AC = 5 : 3$. Обозначим их как $5x$ и $3x$. Сумма дуг окружности $360^\circ$. Но так как у нас треугольник вписан, учитываем только дугу $ABC$, но по условию задачи это дуги окружности. Пусть вся окружность равна $360^\circ$. Тогда $\cup AB + \cup AC + \cup BC = 360^\circ$. $5x + 3x + 120^\circ = 360^\circ$ $8x = 240^\circ$ $x = 30^\circ$ Тогда $\cup AB = 150^\circ$, $\cup AC = 90^\circ$. $\angle BOC$ — центральный угол, опирающийся на дугу $BC = 120^\circ$, значит $\angle BOC = 120^\circ$. $\angle ABC$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $AC = 90^\circ$, значит $\angle ABC = 90^\circ / 2 = 45^\circ$. **Ответ:** $\angle BOC = 120^\circ$, $\angle ABC = 45^\circ$. #### Задача 3 По свойству пересекающихся хорд: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. $AF \cdot BF = CF \cdot DF$ Так как $CF = DF$, обозначим эту длину за $x$. Уравнение: $4 \cdot 16 = x \cdot x$ $64 = x^2$ $x = 8$ Длина хорды $CD = CF + DF = 8 + 8 = 16$ см. **Ответ:** $CD = 16$ см. #### Задача 4 Имеем окружность радиуса $R = 12$ см и треугольник $MNK$. Углы $\angle MON = 120^\circ$ и $\angle NOK = 90^\circ$. Треугольник равнобедренный с боковыми сторонами $R=12$. 1. Для $\triangle MON$ (стороны $OM=ON=12$, угол $120^\circ$): По теореме косинусов: $MN^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ) = 144 + 144 - 288 \cdot (-0,5) = 288 + 144 = 432$ $MN = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}$ см. 2. Для $\triangle NOK$ (стороны $ON=OK=12$, угол $90^\circ$): Это прямоугольный равнобедренный треугольник. $NK = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$ см. **Ответ:** $MN = 12\sqrt{3}$ см, $NK = 12\sqrt{2}$ см.