В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 21 место, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в одиннадцатом ряду амфитеатра?

Решаю задачи по порядку: 14. Это арифметическая прогрессия. Первый член $a_1 = 21$, разность $d = 2$, количество рядов $n = 12$. Сумма $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. $S_{12} = \frac{2 \cdot 21 + 2 \cdot 11}{2} \cdot 12 = (21 + 11) \cdot 12 = 32 \cdot 12 = 384$. **Ответ: 384** 15. В прямоугольном треугольнике $\text{tg } B = \frac{AC}{BC}$. Известно, что $\text{tg } B = \frac{5}{9}$, а $BC = 27$. Тогда $\frac{AC}{27} = \frac{5}{9}$. $AC = 27 \cdot \frac{5}{9} = 3 \cdot 5 = 15$. **Ответ: 15** 16. У трапеции, вписанной в окружность, углы при основании равны. Так как трапеция равнобедренная, то $\angle C = \angle D$ и $\angle A = \angle B$. Также сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$. Дано $\angle C = 32^\circ$ — скорее всего, имеется в виду угол при основании, но формулировка размыта. Если $\angle C = 32^\circ$, то $\angle B$ (соседний угол при боковой стороне) равен $180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$. Если подразумевается угол при основании $AD$, то $\angle C = \angle B$. Обычно в таких задачах острый угол $32^\circ$ при основании, тогда тупой угол $180-32=148^\circ$. **Ответ: 148** 17. Площадь ромба $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$. В ромбе диагонали перпендикулярны. $\text{tg } \angle BCA = \frac{OA}{OB} = 0.25 = \frac{1}{4}$. Пусть $OA = x$, $OB = 4x$. Диагональ $AC = 12$, значит $OA = 6$. Тогда $4x = 6$, $x = 1.5$. Диагональ $BD = 2x = 3$. Площадь $S = 0.5 \cdot 12 \cdot 3 = 18$. **Ответ: 18** 18. По клеткам: одна точка находится в (2,4) относительно начала сетки, другая в (4,1). Расстояние $d = \sqrt{(4-2)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$. **Ответ: \sqrt{13}** 19. Анализ утверждений: 1) Боковые стороны любой трапеции равны — ложно (только в равнобедренной). 2) Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними — верно ($S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$). 3) Всякий равнобедренный треугольник является остроугольным — ложно (может быть тупоугольным). Верно только утверждение 2. **Ответ: 2**