Найти sinα, tgα, если cosα = -9/41 и π/2 < α < π

Привет! Давай разберем твою контрольную. ### 1. Найти $\sin\alpha, \operatorname{tg}\alpha$, если $\cos\alpha = -\frac{9}{41}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ Так как $\alpha$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), $\sin\alpha$ будет положительным. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-\frac{9}{41})^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1600}{1681}$ $\sin\alpha = \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \frac{40}{41}$ Теперь найдем тангенс: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{40/41}{-9/41} = -\frac{40}{9} = -4\frac{4}{9}$ ### 2. Вычисления Используем формулы синуса разности $\sin(\alpha - \beta)$ и косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta)$. a) $\sin 141^\circ \cos 51^\circ - \cos 141^\circ \sin 51^\circ = \sin(141^\circ - 51^\circ) = \sin 90^\circ = 1$ б) $\cos 132^\circ \cos 18^\circ - \sin 132^\circ \sin 18^\circ = \cos(132^\circ + 18^\circ) = \cos 150^circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ### 3. Решение уравнений ($k \in \mathbb{Z}$) * $\sin 2x = -1$ $2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ * $\sin(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow \frac{x}{3} = 2\pi k \Rightarrow x = 6\pi k$ $\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi k$ * $\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ $x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x = \pi + 2\pi k$ * $\cos 2x = \frac{1}{2}$ $2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$ * $\cos(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ $1) \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi k$ $2) \frac{x}{3} = -\pi + 2\pi k \Rightarrow x = -3\pi + 6\pi k$ (или $3\pi + 6\pi k$) * $\cos(x - \frac{\pi}{6}) = 0$ $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} + \pi k$