675 Стороны угла O касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке A. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой OA.

Давайте докажем это утверждение. Пусть задан угол с вершиной $O$. Стороны угла касаются двух окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$. Эти окружности имеют общую касательную в точке $A$, лежащую на прямой $OA$. 1. Пусть сторона угла $l_1$ касается окружности с центром $O_1$ в точке $K$, а окружности с центром $O_2$ — в точке $M$. 2. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $O_1K \perp l_1$ и $O_2M \perp l_1$. 3. Так как $O_1K$ и $O_2M$ перпендикулярны одной и той же прямой ($l_1$), то $O_1K \parallel O_2M$. 4. Точка $A$ является точкой касания окружностей, поэтому общая касательная в точке $A$ перпендикулярна отрезку, соединяющему центры $O_1O_2$. 5. Обозначим $l_A$ — общую касательную в точке $A$. По условию, прямая $OA$ содержит точку $A$. 6. Центр любой окружности, касающейся сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла. Центры $O_1$ и $O_2$ лежат на биссектрисе угла $O$. 7. Рассмотрим гомотетию с центром $A$, переводящую одну окружность в другую. Так как окружности касаются в точке $A$, такая гомотетия существует и переводит центр $O_1$ в центр $O_2$. При гомотетии с центром в точке, лежащей на окружностях, прямая, соединяющая центры, проходит через центр гомотетии. 8. Таким образом, точки $O_1, O_2$ и $A$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.