1. Сторона треугольника равна 29, а высота, проведенная к этой стороне, равна 12. Найдите площадь этого треугольника.

Решение задач: 1. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — сторона, а $h$ — высота, проведенная к этой стороне. $S = 0,5 \cdot 29 \cdot 12 = 29 \cdot 6 = 174$. **Ответ: 174.** 2. Пусть $R$ — радиус окружности. Точка $A$ — центр, $C$ лежит на окружности, значит $R = AC = 72$. Точка $B$ лежит на продолжении радиуса, $AB = AC + CB = 72 + 25 = 97$. Проведенная касательная образует прямоугольный треугольник с катетами $R$ (радиус) и $x$ (касательная) и гипотенузой $AB$. По теореме Пифагора: $x^2 + R^2 = AB^2$ $x^2 + 72^2 = 97^2$ $x^2 = 97^2 - 72^2 = (97 - 72)(97 + 72) = 25 \cdot 169$ $x = \sqrt{25 \cdot 169} = 5 \cdot 13 = 65$. **Ответ: 65.** 3. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника по бокам. Высота $h = 5$. В прямоугольном треугольнике угол $45^{\circ}$, значит он равнобедренный и катет на основании равен высоте $h = 5$. Большее основание складывается из меньшего (6) и двух таких катетов: $6 + 5 + 5 = 16$. **Ответ: 16.** 4. Посчитаем количество клеток по сторонам треугольника. Горизонтальный катет равен 6 клеткам, вертикальный — 3 клеткам. Больший катет — 6. **Ответ: 6.** 5. Анализ утверждений: 1) Верно. Через любую точку можно провести бесконечно много прямых. 2) Неверно. У равнобедренной трапеции боковые стороны равны, но у произвольной трапеции — нет. 3) Верно. Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. Номера верных утверждений: 13. **Ответ: 13.** 6. Четырехугольник $BCKP$ вписан в окружность. Угол $A$ общий. Треугольник $AKP$ подобен треугольнику $ABC$ (так как угол $AKP = \angle C$, а угол $APK = \angle B$). Коэффициент подобия $k = \frac{AP}{AB} = \frac{21}{AB}$. Из условия $BC = \frac{AB}{1,5}$, значит $AB = 1,5 \cdot BC$. Так как треугольники подобны, $\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB} = \frac{21}{AB}$. $KP = BC \cdot \frac{21}{AB} = BC \cdot \frac{21}{1,5 \cdot BC} = \frac{21}{1,5} = 14$. **Ответ: 14.**