1. Упростите выражение 4-3y/y+4 : (4-y/y+4 + y/4)

### 1. Упростите выражение: $$\frac{4-3y}{y+4} : \left( \frac{4-y}{y+4} + \frac{y}{4} \right)$$ Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $4(y+4)$: $$\frac{4(4-y) + y(y+4)}{4(y+4)} = \frac{16 - 4y + y^2 + 4y}{4(y+4)} = \frac{16 + y^2}{4(y+4)}$$ Теперь выполним деление: $$\frac{4-3y}{y+4} \cdot \frac{4(y+4)}{16+y^2} = \frac{4(4-3y)}{16+y^2} = \frac{16 - 12y}{y^2 + 16}$$ ### 2. Решите уравнения: **а) $6x^2 - 5x + 1 = 0$** Находим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$. Корни: $x = \frac{5 \pm 1}{12}$. $x_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. **б) $\sqrt{x-1} = 3-x$** Возведем обе части в квадрат ($x-1 \ge 0$, $3-x \ge 0 \Rightarrow 1 \le x \le 3$): $x-1 = (3-x)^2$ $x-1 = 9 - 6x + x^2$ $x^2 - 7x + 10 = 0$ По теореме Виета $x_1=2, x_2=5$. Проверка области допустимых значений ($1 \le x \le 3$): $x=5$ — посторонний корень. **Ответ: 2** **в) $\frac{x+1}{x} - \frac{6}{x+2} = \frac{6}{x^2+2x}$** ОДЗ: $x \ne 0, x \ne -2$. Общий знаменатель: $x(x+2)$. $(x+1)(x+2) - 6x = 6$ $x^2 + 3x + 2 - 6x - 6 = 0$ $x^2 - 3x - 4 = 0$ По теореме Виета $x_1 = 4, x_2 = -1$. Оба корня входят в ОДЗ. **Ответ: 4; -1** **г*) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$** Замена $t = x^2$ ($t \ge 0$): $t^2 - 13t + 36 = 0$ $D = 169 - 144 = 25$. $t = \frac{13 \pm 5}{2}$. $t_1 = 9, t_2 = 4$. $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. **Ответ: $\pm 3; \pm 2$** ### 3. Найдите значение выражения: $$\frac{a^{-11} \cdot a^4}{a^{-3}} = \frac{a^{-11+4}}{a^{-3}} = \frac{a^{-7}}{a^{-3}} = a^{-7 - (-3)} = a^{-4} = \frac{1}{a^4}$$ *(Примечание: в условии нет значения 'a', вероятно, опечатка в условии исходника, если $a$ подразумевалось как число, результат будет зависеть от него)*. ### 5. Решите задачу: Пусть скорость течения $v$. Скорость по течению: $22+v$, против течения: $22-v$. Время: $3$ ч $40$ мин = $3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$ часа. $$\frac{40}{22+v} + \frac{40}{22-v} = \frac{11}{3}$$ $40(22-v + 22+v) = \frac{11}{3}(22^2 - v^2)$ $40 \cdot 44 = \frac{11}{3}(484 - v^2)$ $160 = \frac{1}{3}(484 - v^2)$ $480 = 484 - v^2$ $v^2 = 4 \Rightarrow v = 2$. **Ответ: 2 км/ч**