Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Пусть треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$, вершина $C$ противолежит основанию. Окружность, вписанная в треугольник, касается боковой стороны $BC$ (или $AC$) в точке $M$. По условию, точка $M$ делит $BC$ на отрезки $CM = 5$ и $MB = 3$. 1. Свойства касательных: отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. - Из вершины $C$ проведены касательные к окружности. Значит, отрезки от вершины до точек касания на сторонах $AC$ и $BC$ равны. Так как на $BC$ отрезок $CM = 5$, то на $AC$ отрезок от $C$ до точки касания также равен $5$. - Из вершины $B$ проведены касательные к окружности. Отрезок касательной на стороне $BC$ от вершины $B$ до точки касания $M$ равен $3$ (по условию). Значит, отрезок касательной от вершины $B$ до точки касания на основании $AB$ также равен $3$. - Аналогично, из вершины $A$ проведены касательные. Так как треугольник равнобедренный ($AC=BC$), то $AC = 5 + 3 = 8$. Значит, $BC = 8$ и $AC = 8$. Отрезок от $A$ до точки касания на основании $AB$ также равен $3$. 2. Находим стороны: - Боковые стороны: $AC = 8$, $BC = 8$. - Основание $AB$: оно состоит из двух отрезков касательных, проведенных из вершин $A$ и $B$ к основанию. Оба эти отрезка равны $3$. Значит, $AB = 3 + 3 = 6$. 3. Периметр треугольника $P$: $P = AC + BC + AB = 8 + 8 + 6 = 22$. **Ответ: 22.**