Билет №1 3. Сторона остроугольного треугольника равна 29, а высота, проведённая к этой стороне, равна 12. Найдите площадь этого треугольника

Привет! Это отличная подборка задач по геометрии для подготовки к экзамену. Давай разберем их по порядку. ### Билет №1 3. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 29 \cdot 12 = 29 \cdot 6 = 174$. **Ответ: 174** 4. Так как AB — диаметр, $\angle ACB = 90^\circ$ (опирается на диаметр). Углы вписанного треугольника опираются на дуги. $\angle BAC = \frac{1}{2} \cup BC = \frac{134^\circ}{2} = 67^\circ$. $\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 67^\circ = 23^\circ$. **Ответ: 90°, 67°, 23°** ### Билет №2 3. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны. $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на дугу CD, значит $\angle CBD = \angle CAD = 33^\circ$. В $\triangle ABC$ угол $\angle ACB$ вписанный, опирается на дугу AB, но удобнее через суммы углов. Углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ опираются на дугу AD. В $\triangle ABC$: $\angle ACB = 180 - 38 - 33 = 109^\circ$. $\angle ABD = 180 - \angle BDA - \angle BAD$. Это сложная задача, но проще: $\angle ABD$ опирается на дугу AD, $\angle ACD$ тоже. $\angle ABD = \angle ACD = 180 - (38+33) = 109$ — нет, это не так. Правильнее: $\angle ABD = \angle ACD$. $\angle CAD = 33^\circ$ и $\angle ABC = 38^\circ$ даны. Решение: $\angle ABD = 180^\circ - 38^\circ - 33^\circ - 33^\circ = 76^\circ$ (неверно). Давай проще: $\angle ABD = 180 - (180 - \angle ACB) - \dots$ Вписанный угол $\angle ACD = \angle ABD$. Сумма $\angle ABD + \angle CBD = 38^\circ$. Значит $\angle ABD + 33^\circ = 38^\circ \Rightarrow \angle ABD = 5^\circ$. **Ответ: 5°** 4. Стороны $a=3, b=4$. Диагональ $d = \sqrt{3^2+4^2} = 5$. Углы $\alpha, \beta$: $\tan \alpha = 3/4 = 0.75 \Rightarrow \alpha \approx 37^\circ$; $\beta = 90 - 37 = 53^\circ$. **Ответ: 37°, 53°** ### Билет №3 3. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Угол между диагоналями (острый) равен $180 - 2 \cdot 47 = 86^\circ$ или $2 \cdot 47 = 94^\circ$ (тупой). Острый $86^\circ$ (если рассматривать треугольник, образованный стороной и диагоналями, угол при основании $47^\circ$, значит $180 - 2 \cdot 47 = 86^\circ$ или $2 \cdot (90-47) = 86^\circ$). **Ответ: 86°** 4. Площадь $S = pr = (a+b) \cdot r$. $a+b = 12$ см, $r = 5$ см. $S = 12 \cdot 5 = 60$. **Ответ: 60 кв. см** ### Билет №4 3. Вписанный четырехугольник: сумма противоположных углов $180^\circ$. $\angle ABC = 92^\circ \Rightarrow \angle ADC = 180 - 92 = 88^\circ$. В треугольнике ADC: $\angle CAD = 60^\circ$, $\angle ADC = 88^\circ$. Тогда $\angle ACD = 180 - 88 - 60 = 32^\circ$. Нам нужен $\angle CAD = 60^\circ$ (дано). **Ответ: 60°** 4. $h = a \cdot \sin(45^\circ) = 13 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ (если сторона $a=13$ - нет, обычно боковая сторона). Если углы $45^\circ$, высота $h = \frac{27-13}{2} = 7$. $S = \frac{13+27}{2} \cdot 7 = 20 \cdot 7 = 140$. **Ответ: 140** ### Билет №5 (нижние задачи) 3. Вписанный четырехугольник: сумма противоположных углов $180^\circ$. $\angle A + \angle C = 180^\circ \Rightarrow 33^\circ + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \angle C = 147^\circ$. **Ответ: 147°** 4. Биссектрисы отсекают равнобедренные треугольники. Сторона делится на 3 части по $x$. $AB = x+x = 20 \Rightarrow x=10$. Периметр $P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (20 + 30) = 100$. **Ответ: 100**