11. Тип 15 № 350010 Медиана равностороннего треугольника равна 11√3. Найдите сторону этого треугольника.

Привет! Давай решим задачи по геометрии. ### Задача 11 В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Обозначим сторону треугольника через $a$. Высота $h$ равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ По условию $h = 11\sqrt{3}$, приравняем: $\frac{a\sqrt{3}}{2} = 11\sqrt{3}$ Разделим обе части на $\sqrt{3}$: $\frac{a}{2} = 11 \implies a = 22$ **Ответ: 22** ### Задача 12 $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, так как она соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По свойству средней линии она параллельна третьей стороне и равна её половине: $MN = \frac{AC}{2} = \frac{28}{2} = 14$ (Стороны $AB=21$ и $BC=22$ в данном случае избыточны). **Ответ: 14** ### Задача 13 $BM$ — медиана, значит $M$ делит $AC$ пополам: $AM = MC = \frac{104}{2} = 52$. Нам известна длина $HC = 26$. Найдем $MH$: $MH = MC - HC = 52 - 26 = 26$. Рассмотрим треугольник $BHC$ (прямоугольный, так как $BH$ — высота). В нем $\tan(\angle C) = \frac{BH}{HC} = \tan(75^\circ)$. Заметим, что $MH = HC = 26$. В прямоугольном треугольнике $BHC$, если катет $HC$ равен проекции медианы $MH$ (в данном случае $MH=HC=26$), это значит, что $\angle C = 45^\circ$ только если треугольник равнобедренный, но здесь дано $75^\circ$. Подожди, проще: в треугольнике $BMH$ (прямоугольный, $\angle BHM=90^\circ$) катеты $MH = 26$ и $BH = HC \cdot \tan(75^\circ) = 26 \cdot \tan(75^\circ)$. $\tan(\angle BMH) = \frac{BH}{MH} = \frac{26 \cdot \tan(75^\circ)}{26} = \tan(75^\circ)$. Значит, $\angle BMH = 75^\circ$. Угол $\angle AMB$ и $\angle BMH$ — смежные, их сумма $180^\circ$: $\angle AMB = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$. **Ответ: 105** ### Задача 14 Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$ Подставим значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{3} = \frac{60}{6} = 10$ **Ответ: 10**