№1 В коробке лежат синие, красные и зелёные карандаши. Всего их 22 штуки. Синих карандашей в 7 раз больше, чем зелёных, а красных меньше, чем синих. Сколько в коробке красных карандашей?

### №1 Пусть $x$ — количество зелёных карандашей. Тогда синих карандашей $7x$. Так как всего карандашей 22, то $x + 7x + R = 22$, где $R$ — количество красных карандашей. $8x + R = 22$. Так как $x$ — натуральное число, подберем значения: - Если $x = 1$, то $8 + R = 22$, откуда $R = 14$. Проверим условие: синих $7 \times 1 = 7$. Условие "красных меньше, чем синих" ($14 < 7$) не выполняется. - Если $x = 2$, то $16 + R = 22$, откуда $R = 6$. Синих $7 \times 2 = 14$. Условие $6 < 14$ выполняется. **Ответ: 6 красных карандашей.** ### №2 При каждом разрезании одной части на три, общее количество частей увеличивается на 2 (одну убираем, три добавляем, итого $+2$). Изначально 1 часть. Пусть сделали $k$ разрезов. Тогда частей стало $1 + 2k$. $1 + 2k = 250 \Rightarrow 2k = 249$. Число 249 не делится на 2 нацело, значит получить 250 частей невозможно. **Ответ: Нет, не могло.** ### №3 Пусть $x$ — число пятиугольников, $y$ — число семиугольников. $5x + 7y = 34$. Методом подбора: - Если $y = 1$, $5x = 27$ (не делится). - Если $y = 2$, $5x = 34 - 14 = 20 \Rightarrow x = 4$. - Если $y = 3$, $5x = 13$ (не делится). - Если $y = 4$, $5x = 34 - 28 = 6$ (не делится). **Ответ: 2 семиугольника.** ### №4 Пусть $x$ — пятиугольники, $y$ — шестиугольники. $5x + 6y = 28$. - Если $y = 1$, $5x = 22$ (нет). - Если $y = 2$, $5x = 28 - 12 = 16$ (нет). - Если $y = 3$, $5x = 28 - 18 = 10 \Rightarrow x = 2$. **Ответ: 2 пятиугольника.** ### №5 Пусть $x$ — побед/поражений (всего очков $3x$), $y$ — ничьих (очков $1y$). $x + y = 6$ (всего матчей). $3x + y = 16$ (всего очков). Вычтем первое из второго: $(3x + y) - (x + y) = 16 - 6 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$. $y = 6 - 5 = 1$. **Ответ: 1 матч в ничью.** ### №6 Пусть $X$ — стоимость книги. $X - 135$ (деньги Олега). $X - 2$ (деньги Серёжи). Вместе им не хватает денег: $(X - 135) + (X - 2) < X$. $2X - 137 < X \Rightarrow X < 137$. Так как денег не хватает, но они почти накопили (осталось 2 рубля), цена должна быть целым числом. Если у Олега 0 рублей, то книга стоит 135 (но по условию не хватает 135, значит хотя бы 1 рубль есть). Если у Олега 1 рубль, книга 136. У Серёжи тогда $136 - 2 = 134$ рубля. Вместе $135 < 136$. **Ответ: 136 рублей.**