Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 27°.

### Задача 1 Треугольник $ABC$ вписан в окружность. Угол $ACB$ — вписанный, опирается на дугу $AB$. Угол $AOB$ — центральный, опирается на ту же дугу $AB$. По теореме о вписанном угле, он равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 27^\circ = 13{,}5^\circ$. **Ответ: 13,5** ### Задача 4 $AC$ и $BD$ — диаметры. Углы $ACB$ и $AOD$ не связаны напрямую через одну дугу. Посмотрим на чертеж: $\triangle OCB$ — равнобедренный ($OC=OB=R$), значит, $\angle OBC = \angle OCB = 78^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$, тогда $\angle COB = 180^\circ - (78^\circ + 78^\circ) = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$. Углы $AOD$ и $BOC$ — вертикальные, значит $\angle AOD = \angle BOC = 24^\circ$. **Ответ: 24** ### Задача 24 $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD = 92^\circ$. Угол $AOD$ и угол $BOC$ — вертикальные, значит $\angle BOC = 92^\circ$. Рассмотрим $\triangle BOC$: он равнобедренный ($OB=OC=R$). Сумма углов треугольника $180^\circ$, углы при основании равны: $\angle OCB = (180^\circ - 92^\circ) : 2 = 88^\circ : 2 = 44^\circ$. Угол $ACB$ совпадает с углом $OCB$. **Ответ: 44** ### Задача 34 $AB$ — диаметр. Точки $M$ и $N$ на окружности. $\angle NBA = 32^\circ$. Угол $\angle NMB$ опирается на дугу $NB$. Угол $\angle NAB$ также опирается на дугу $NB$, значит, $\angle NAB = \angle NMB$. Рассмотрим $\triangle ANB$. Так как $AB$ — диаметр, то $\angle ANB = 90^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$, тогда $\angle NAB = 180^\circ - 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$. Следовательно, $\angle NMB = 58^\circ$. **Ответ: 58** ### Задача 44 Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Углы $ABD$ и $ACD$ опираются на одну дугу $AD$, значит $\angle ACD = \angle ABD = 85^\circ$. Теперь рассмотрим $\triangle ACD$ (или другой подход). Угол $\angle ABC$ состоит из $\angle ABD + \angle DBC$. Углы $\angle DBC$ и $\angle DAC$ опираются на дугу $DC$. В условии дана ошибка в обозначении или опечатке: обычно ищут $\angle ACD$ или углы связаны через вписанные углы. Если дано $\angle ABD=85^\circ$ и $\angle CAD=19^\circ$, то $\angle CBD$ опирается на ту же дугу, что и $\angle CAD$, значит $\angle CBD = 19^\circ$. Тогда весь $\angle ABC = 85^\circ + 19^\circ = 104^\circ$. **Ответ: 104** ### Задача 54 Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. $\angle ABC = 138^\circ$. Углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ — противоположные вписанного четырехугольника, их сумма $180^\circ$. Тогда $\angle ADC = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$. В треугольнике $ACD$ известны $\angle CAD = 83^\circ$ и $\angle ADC = 42^\circ$, тогда $\angle ACD = 180^\circ - 83^\circ - 42^\circ = 55^\circ$. Углы $\angle ACD$ и $\angle ABD$ опираются на одну дугу $AD$, значит $\angle ABD = \angle ACD = 55^\circ$. **Ответ: 55**