11. На рисунке изображён граф. Полина обвела этот граф, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни по одному ребру дважды. С какой вершины Полина начала обводить граф, если она закончила его обводить в вершине 3?

Для решения задачи воспользуемся свойством Эйлерова пути. В графе можно нарисовать путь, не отрывая карандаша и не проходя по ребрам дважды (эйлеров путь), если количество вершин с нечетной степенью равно 0 или 2. Если таких вершин 0, путь замкнутый (можно начать и закончить в любой вершине). Если таких вершин 2, путь начинается в одной из них и заканчивается в другой. 1. Определим степени каждой вершины (количество исходящих ребер): - Вершина 1: соединена с 2, 5, 6, 4. Степень: 4. - Вершина 2: соединена с 1, 3, 5, 6. Степень: 4. - Вершина 3: соединена с 2, 4, 6, 5. Степень: 4. - Вершина 4: соединена с 3, 2, 5, 6. Степень: 4. - Вершина 5: соединена с 4, 3, 6, 1. Степень: 4. - Вершина 6: соединена с 5, 1, 2, 3. Степень: 4. 2. Анализ: Все 6 вершин имеют четную степень (равную 4). Это означает, что граф содержит Эйлеров цикл. В таком графе эйлеров путь может начинаться в любой вершине и заканчиваться в той же самой вершине. 3. По условию Полина закончила обводить граф в вершине 3. Так как это эйлеров цикл (замкнутый маршрут), то начало и конец пути должны совпадать. Ответ: 3