Найти углы треугольника AOB. Дано: CB — касательная; ∠A = 30°. Найти: углы треугольника BOC. Дано: AB и AC — касательные; ∠BOC = 100°. Найти: ∠BAC.

### 1 В треугольнике $AOB$ стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами одной окружности, следовательно, $OA = OB$. Значит, треугольник $AOB$ равнобедренный с основанием $AB$. Угол при вершине $\angle AOB = 30^\circ$. Углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 150^\circ / 2 = 75^\circ$. **Ответ: $30^\circ, 75^\circ, 75^\circ$.** ### 2 Дано: $CB$ — касательная, значит, радиус $OB \perp CB$, поэтому $\angle OBC = 90^\circ$. В треугольнике $AOB$: $OA = OB$ (радиусы), значит, треугольник равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA = \angle A = 30^\circ$. Угол $\angle AOB = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$. Угол $\angle BOC$ — смежный с углом $\angle AOB$ (так как $A, O, C$ лежат на одной прямой — это диаметр), но по рисунку $AC$ не обязательно диаметр. Однако, $A, O$ и точка пересечения лежат на одной линии. $\angle BOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $OBC$ ($\angle OBC = 90^\circ$): $\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. **Ответ: $90^\circ, 60^\circ, 30^\circ$.** ### 3 $AB$ и $AC$ — касательные к окружности. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным: $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$. Значит, $\angle OBA = 90^\circ$ и $\angle OCA = 90^\circ$. В четырехугольнике $ABOC$: сумма углов равна $360^\circ$. $\angle BAC = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 100^\circ) = 360^\circ - 280^\circ = 80^\circ$. **Ответ: $80^\circ$.**