1) Найти: ∠CAD.

Давай разберем задачу по шагам. У нас есть прямоугольный треугольник $BC_1C$, где: - Катет $BC_1 = 8$. - Гипотенуза $CC_1 = 16$. - Угол $\angle B = 90^\circ$. 1. Найдем косинус угла $\angle BC_1C$ (или синус $\angle BC_1C$, но проще через $\angle BC_1C$): В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(\angle BC_1C) = \frac{BC_1}{CC_1} = \frac{8}{16} = 0,5$. 2. Угол, косинус которого равен $0,5$, равен $60^\circ$. Значит, $\angle BC_1C = 60^\circ$. 3. На чертеже дугами отмечено, что $\angle BC_1C = \angle ACC_1$ (углы равны). Значит, $\angle ACC_1 = 60^\circ$. 4. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Мы видим, что $AD$ — прямая, на которой лежат точки $A, C_1, B$. Угол $\angle ACB$ состоит из двух равных углов $\angle ACC_1$ и $\angle C_1CB$. Так как $\angle BC_1C = 60^\circ$, то внешний угол $\angle AC_1C$ (смежный с $\angle BC_1C$) равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Однако, взглянем на треугольник $ACC_1$. Это внешний угол для $\triangle BC_1C$ или просто рассмотрим углы при прямой $AB$: Угол $\angle AC_1C = 120^\circ$ (так как смежный с $\angle BC_1C = 60^\circ$). Сумма углов в треугольнике $\triangle ACC_1$ равна $180^\circ$: $\angle CAD = 180^\circ - \angle AC_1C - \angle ACC_1 = 180^\circ - 120^\circ - 60^\circ = 0^\circ$. Похоже, на чертеже $A, C_1, B$ лежат на одной прямой, и если углы равны, то прямая $AC$ параллельна $CC_1$, либо условие подразумевает, что $A$ лежит на продолжении, и треугольник $ACC_1$ вырожденный. Скорее всего, по геометрии задачи $A, C_1, B$ — это одна прямая, и угол $\angle CAD$ — это угол при вершине $A$. Если $\angle AC_1C = 120^\circ$ и $\angle ACC_1 = 60^\circ$, то сумма углов $180$, значит $AC$ параллельна $CC_1$, треугольника нет. Вероятно, в условии опечатка в расположении точек или величин, но исходя из геометрии треугольника $BC_1C$, $\angle BC_1C = 60^\circ$. Если предположить, что нужно найти угол $\angle CAD$ в треугольнике $ACD$ или подобном, данных недостаточно. Но если это угол $A$ в треугольнике $ABC$, то $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. **Ответ: 30^\circ** (предполагая, что искомый угол — $\angle BAC$)