Четырёхугольник ABCD описан около окружности радиуса r. Известно, что AB : CD = 2 : 3, AD : BC = 2 : 1. Найдите стороны четырёхугольника, если его площадь равна S.

Для четырехугольника $ABCD$, описанного около окружности радиуса $r$, выполняются два важных условия: 1. Суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = AD + BC$ (свойство описанного четырехугольника). 2. Площадь четырехугольника вычисляется по формуле: $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр $p = \frac{AB + BC + CD + AD}{2}$. Пусть $AB = 2x$, тогда $CD = 3x$ (из условия $AB : CD = 2 : 3$). Пусть $AD = 2y$, тогда $BC = y$ (из условия $AD : BC = 2 : 1$). Подставим в условие равенства сумм противоположных сторон: $2x + 3x = 2y + y$ $5x = 3y \Rightarrow y = \frac{5}{3}x$ Теперь найдем полупериметр $p$: $p = \frac{2x + y + 3x + 2y}{2} = \frac{5x + 3y}{2}$ Подставим $y = \frac{5}{3}x$: $p = \frac{5x + 3(\frac{5}{3}x)}{2} = \frac{5x + 5x}{2} = 5x$ Используем формулу площади: $S = p \cdot r = 5x \cdot r \Rightarrow x = \frac{S}{5r}$ Теперь вычислим стороны: $AB = 2x = \frac{2S}{5r}$ $CD = 3x = \frac{3S}{5r}$ $BC = y = \frac{5}{3}x = \frac{5}{3} \cdot \frac{S}{5r} = \frac{S}{3r}$ $AD = 2y = 2 \cdot \frac{5}{3}x = \frac{10}{3}x = \frac{10}{3} \cdot \frac{S}{5r} = \frac{2S}{3r}$ Ответ: $AB = \frac{2S}{5r}, CD = \frac{3S}{5r}, BC = \frac{S}{3r}, AD = \frac{2S}{3r}$.