15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита должна быть на 30% больше суммы, взятой в кредит?

Question

Вопрос:

15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита должна быть на 30% больше суммы, взятой в кредит?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть $S$ — сумма кредита, $n$ — количество месяцев, $k = 0,03$ (процентная ставка). По условию, основной долг уменьшается равномерно: $x = \frac{S}{n}$. Общая сумма выплат состоит из суммы основного долга ($S$) и суммы всех начисленных процентов. | Месяц | Долг до начисления % | Начислено % | Основной платеж | Итого платеж | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 1 | $S$ | $0,03S$ | $S/n$ | $0,03S + S/n$ | | 2 | $S - S/n$ | $0,03(S - S/n)$ | $S/n$ | $0,03(S - S/n) + S/n$ | | ... | ... | ... | ... | ... | | $n$ | $S/n$ | $0,03(S/n)$ | $S/n$ | $0,03(S/n) + S/n$ | Сумма процентов представляет собой арифметическую прогрессию. Вычислим её: $0,03 \cdot (S + (S - S/n) + \dots + S/n) = 0,03 \cdot \frac{S + S/n}{2} \cdot n = 0,03 \cdot \frac{S(1 + 1/n)}{2} \cdot n = 0,03 \cdot S \cdot \frac{n+1}{2}$ По условию общая сумма выплат на 30% больше $S$, то есть $1,3S$. Значит, переплата по процентам составляет $0,3S$: $0,03 \cdot S \cdot \frac{n+1}{2} = 0,3S$ $0,03 \cdot \frac{n+1}{2} = 0,3$ $\frac{n+1}{2} = 10$ $n + 1 = 20$ $n = 19$ **Ответ: 19**

Ответ ассистента

Другие решения