523 Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.

523. Дано: осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ $d = 20$ см. а) Пусть сторона квадрата равна $a$. В квадрате диагональ связана со стороной формулой $d = a\sqrt{2}$. $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ см. Так как осевое сечение — квадрат, его высота $h$ равна стороне $a$. **Ответ: $10\sqrt{2}$ см.** б) Сторона квадрата также равна диаметру основания цилиндра $D = 2r = 10\sqrt{2}$ см. Радиус основания: $r = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см. Площадь основания $S = \pi r^2 = \pi (5\sqrt{2})^2 = \pi \cdot 25 \cdot 2 = 50\pi$ см$^2$. **Ответ: $50\pi$ см$^2$.** 524. Нет, неверно. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр) и $h$ (высота). Площадь сечения равна $S = 2r \cdot h$. Два цилиндра могут иметь равные по площади осевые сечения при разных значениях радиуса и высоты (например, у одного $2r=2, h=6$, а у другого $2r=3, h=4$). Даже если сечения равны как фигуры (конгруэнтны), они могут быть ориентированы по-разному: у одного высота равна одной стороне прямоугольника, а у другого — другой. **Ответ: Нет.**