А4. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. а) Чему равен отрезок BD, если отрезок AC = 10 м?

### Задача А4 **а) Чему равен отрезок $BD$, если отрезок $AC = 10$ м?** 1. Рассмотрим $\triangle ACO$ и $\triangle BDO$. 2. По условию $AO = OB$ и $CO = OD$ (так как $O$ — середина отрезков). 3. $\angle AOC = \angle BOD$ как вертикальные. 4. Значит, $\triangle ACO = \triangle BDO$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). 5. В равных треугольниках соответствующие стороны равны, поэтому $BD = AC = 10$ м. **Ответ:** 10 м. **б) Найдите углы $A$ и $C$ треугольника $ACO$, если в треугольнике $OBD$ $\angle D = 47^\circ$, $\angle B = 42^\circ$.** 1. Из равенства $\triangle ACO = \triangle BDO$ следует, что углы при соответствующих вершинах равны. 2. $\angle A = \angle B = 42^\circ$. 3. $\angle C = \angle D = 47^\circ$. **Ответ:** $\angle A = 42^\circ$, $\angle C = 47^\circ$. --- ### Задача А5 **Дано:** $AO = OD$, $BO = OC$. **Доказать:** а) $AB = CD$; б) $\angle BAO = \angle CDO$. **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle ABO$ и $\triangle DCO$. 2. $AO = OD$ (по условию). 3. $BO = OC$ (по условию). 4. $\angle AOB = \angle DOC$ как вертикальные. 5. Следовательно, $\triangle ABO = \triangle DCO$ по первому признаку. 6. Из равенства треугольников следует: а) $AB = CD$ (соответствующие стороны); б) $\angle BAO = \angle CDO$ (соответствующие углы). Что и требовалось доказать. --- ### Задача А6 **Найдите пары равных треугольников по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам).** **а)** Рассмотрим $\triangle MDF$ и $\triangle EDF$: 1. $DF$ — общая сторона. 2. $\angle MDF = \angle EDF$ (отмечено на рисунке дугами). 3. $\angle MFD = \angle EFD$ (отмечено на рисунке дугами). 4. $\triangle MDF = \triangle EDF$ по второму признаку. **б)** Рассмотрим $\triangle ADE$ и $\triangle BCE$: 1. $\angle ADE = \angle BCE$ (отмечено на рисунке). 2. На рисунке также отмечено, что $DE = CE$. 3. $\angle AED = \angle BEC$ как вертикальные. 4. $\triangle ADE = \triangle BCE$ по второму признаку (по стороне $DE, CE$ и двум прилежащим к ним углам).