Доказательство теоремы о связи углов между прямой и плоскостью, прямой и ее проекцией.

Доказательство теоремы о косинусе угла между прямой и плоскостью. Пусть $a \cap \alpha = B$, точка $A \in a, A \neq B$, точка $A_1$ — проекция $A$ на $\alpha$. По условию $\angle ABA_1 = \varphi$. Достаточно рассмотреть случай $B \in b$ (см. определение угла между двумя прямыми). Если $\beta = 0^{\circ}$, $\cos \beta = 1$, $\varphi = \gamma$, равенство очевидно. Если $\beta = 90^{\circ}$, то $\gamma = 90^{\circ}$, $\cos \gamma = \cos \beta = 0$, равенство очевидно. Если $0^{\circ} < \beta < 90^{\circ}$, $AC \perp b$, то по теореме о трёх перпендикулярах $A_1C \perp B$. Из $\triangle ABC$: $\cos \gamma = \frac{BC}{AB}$. Из $\triangle ABA_1$: $\cos \varphi = \frac{BA_1}{AB}$. Из $\triangle CBA_1$: $\cos \beta = \frac{BC}{BA_1}$. Получаем, что $\cos \gamma = \frac{BC}{AB} = \frac{BC}{BA_1} \cdot \frac{BA_1}{AB} = \cos \beta \cdot \cos \varphi$. **Ответ:** $\cos \gamma = \cos \varphi \cos \beta$.