Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной 2√2; Найдите углы правильного 72-угольника; Сторона треугольника равна 3√3. Найти R, r, S, P; Найдите количество сторон правильного n-угольника, если угол между сторонами равен 168°.

1. Радиус окружности, описанной около квадрата, вычисляется по формуле: $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, где $a$ — сторона квадрата. $R = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2$. **Ответ: 2**. 2. Сумма углов правильного $n$-угольника равна $180^\circ(n - 2)$. Один угол правильного $n$-угольника: $\alpha = \frac{180^\circ(n - 2)}{n}$. Для $n = 72$: $\alpha = \frac{180^\circ(72 - 2)}{72} = \frac{180^\circ \cdot 70}{72} = \frac{5 \cdot 70}{2} = 5 \cdot 35 = 175^\circ$. **Ответ: 175°**. 3. Допущение: треугольник является правильным (равносторонним), так как даны формулы для $R$ и $r$ без дополнительных данных. Сторона $a = 3\sqrt{3}$. Радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$. Радиус вписанной окружности: $r = \frac{R}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$. Площадь треугольника: $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(3\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4} = 6,75\sqrt{3}$. Периметр: $P = 3a = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$. **Ответ: R = 3, r = 1,5, S = 6,75√3, P = 9√3**. 4. Используем формулу угла правильного $n$-угольника: $\alpha = \frac{180^\circ(n - 2)}{n}$. $168^\circ = \frac{180^\circ(n - 2)}{n}$ $168n = 180n - 360$ $12n = 360$ $n = 30$. **Ответ: 30**.