Решите уравнение: а) x³ + ∛x + 7x = 9; б) ∛(x - 2) + ∛(x + 5) = 3.

856. Решите уравнение: а) $x^3 + \sqrt[3]{x} + 7x = 9$ Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + \sqrt[3]{x} + 7x$. 1. Каждое слагаемое ($x^3$, $\sqrt[3]{x}$, $7x$) является монотонно возрастающей функцией на всей числовой прямой. 2. Сумма возрастающих функций также является возрастающей функцией. 3. Возрастающая функция принимает каждое своё значение только один раз. 4. Подбором находим корень: при $x = 1$ получаем $1^3 + \sqrt[3]{1} + 7 \cdot 1 = 1 + 1 + 7 = 9$. Так как функция возрастает, других корней нет. **Ответ: 1**. б) $\sqrt[3]{x - 2} + \sqrt[3]{x + 5} = 3$ Пусть $u = \sqrt[3]{x - 2}$ и $v = \sqrt[3]{x + 5}$. Тогда $u^3 = x - 2$ и $v^3 = x + 5$. Составим систему уравнений: $\begin{cases} u + v = 3 \\ v^3 - u^3 = (x + 5) - (x - 2) = 7 \end{cases}$ 1. Из первого уравнения $v = 3 - u$. 2. Подставим во второе: $(3 - u)^3 - u^3 = 7$ 3. $27 - 27u + 9u^2 - u^3 - u^3 = 7$ 4. $-2u^3 + 9u^2 - 27u + 20 = 0$ 5. Заметим, что $u = 1$ — корень ($ -2 + 9 - 27 + 20 = 0$). Разделим многочлен на $(u - 1)$: $-2u^2(u - 1) + 7u(u - 1) - 20(u - 1) = 0 \Rightarrow (u - 1)(-2u^2 + 7u - 20) = 0$ Квадратное уравнение $-2u^2 + 7u - 20 = 0$ не имеет действительных корней ($D = 49 - 4 \cdot (-2) \cdot (-20) = 49 - 160 < 0$). Значит, единственный корень $u = 1$. 6. Вернёмся к замене: $\sqrt[3]{x - 2} = 1 \Rightarrow x - 2 = 1^3 \Rightarrow x = 3$. **Ответ: 3**.