В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, AB = 30 см, AC = 24 см. Найдите: 1) cos B; 2) tg A.

№ 1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($∠C = 90^∘$): 1) $\cos B = \frac{BC}{AB}$. Найдем $BC$ по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18$ см. $\cos B = \frac{18}{30} = 0,6$. 2) $\text{tg } A = \frac{BC}{AC} = \frac{18}{24} = 0,75$. **Ответ: 1) 0,6; 2) 0,75.** № 2. В прямоугольном треугольнике $\sin A = \frac{BC}{AB}$. Отсюда $BC = AB \cdot \sin A = 30 \cdot 0,8 = 24$ см. **Ответ: 24 см.** № 3. Найдем значения: а) $\sin^2 27^∘ + \cos^2 27^∘ = 1$ (по основному тригонометрическому тождеству); б) $\sin 60^∘ + \cos 30^∘ = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$; в) $\text{ctg } 45^∘ + \cos 60^∘ = 1 + \frac{1}{2} = 1,5$; г) $\cos^2 30^∘ = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} = 0,75$. **Ответ: а) 1; б) $\sqrt{3}$; в) 1,5; г) 0,75.** № 4. Пусть в равнобедренном $\triangle ABC$ основание $AC = 16$ см, высота $BD = 6$ см. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, значит $AD = DC = 16 : 2 = 8$ см. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABD$ ($∠D = 90^∘$): $AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$ см. Для угла при основании ($∠A$): $\sin A = \frac{BD}{AB} = \frac{6}{10} = 0,6$; $\cos A = \frac{AD}{AB} = \frac{8}{10} = 0,8$; $\text{tg } A = \frac{BD}{AD} = \frac{6}{8} = 0,75$; $\text{ctg } A = \frac{AD}{BD} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. **Ответ: 0,6; 0,8; 0,75; $1\frac{1}{3}$.** № 5. 1) Из прямоугольного $\triangle BDC$ ($∠BDC = 90^∘$): $\cos \angle CBD = \frac{BD}{BC} \Rightarrow BD = BC \cdot \cos 45^∘ = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см. 2) Из прямоугольного $\triangle ABD$ ($∠ADB = 90^∘$): $\text{tg } A = \frac{BD}{AD} \Rightarrow AD = \frac{BD}{\text{tg } 30^∘} = \frac{4\sqrt{2}}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{6}$ см. **Ответ: $4\sqrt{6}$ см.**