336. Прямая MN параллельна основаниям трапеции ABCD (рис. 96). Найдите: а) сторону CD, если AM : AB = 4 : 5, CN = 3 см; б) сторону AB, если AM : ND = 3 : 2, CN = 2 см, AM = 9 см.

Для решения задачи воспользуемся обобщённой теоремой Фалеса: параллельные прямые, пересекающие стороны угла (или боковые стороны трапеции), отсекают на них пропорциональные отрезки. Так как $MN ∥ AD$ и $MN ∥ BC$, то $\frac{AM}{MB} = \frac{DN}{NC}$. **а) Найдите сторону $CD$, если $AM : AB = 4 : 5$, $CN = 3$ см.** 1. Из отношения $AM : AB = 4 : 5$ следует, что если $AM = 4k$, то вся сторона $AB = 5k$. Тогда $MB = AB - AM = 5k - 4k = k$. 2. Отношение отрезков на одной боковой стороне равно отношению на другой: $\frac{AM}{MB} = \frac{DN}{NC} \Rightarrow \frac{4k}{k} = \frac{DN}{3}$. 3. Получаем: $4 = \frac{DN}{3} \Rightarrow DN = 4 \cdot 3 = 12$ см. 4. Сторона $CD = CN + DN = 3 + 12 = 15$ см. **Ответ: 15 см.** **б) Найдите сторону $AB$, если $AM : ND = 3 : 2$, $CN = 2$ см, $AM = 9$ см.** 1. Из условия $AM = 9$ см и пропорции $AM : ND = 3 : 2$ найдём $ND$: $\frac{9}{ND} = \frac{3}{2} \Rightarrow ND = \frac{9 \cdot 2}{3} = 6$ см. 2. Используем пропорцию теоремы Фалеса: $\frac{AM}{MB} = \frac{DN}{NC}$. 3. Подставим значения: $\frac{9}{MB} = \frac{6}{2} \Rightarrow \frac{9}{MB} = 3 \Rightarrow MB = \frac{9}{3} = 3$ см. 4. Сторона $AB = AM + MB = 9 + 3 = 12$ см. **Ответ: 12 см.**