В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 5 найди тангенс угла между диагональю $B_1D$ и плоскостью $(A_1AC)$.

Для решения задачи введём систему координат с началом в точке $A(0;0;0)$. Тогда оси $x, y, z$ направлены вдоль рёбер $AB, AD, AA_1$ соответственно. Координаты вершин куба с ребром $a=5$: $A(0;0;0), B(5;0;0), C(5;5;0), D(0;5;0), A_1(0;0;5), B_1(5;0;5), D_1(0;5;5)$. 1. Найдём координаты вектора диагонали $\vec{B_1D}$: $\vec{B_1D} = (0-5; 5-0; 0-5) = (-5; 5; -5)$. 2. Найдём уравнение плоскости $(A_1AC)$. Точки: $A(0;0;0), A_1(0;0;5), C(5;5;0)$. Уравнение плоскости, проходящей через начало координат: $Ax + By + Cz = 0$. Подставим координаты $A_1$: $C \cdot 5 = 0 \Rightarrow C = 0$. Подставим координаты $C$: $A \cdot 5 + B \cdot 5 = 0 \Rightarrow A = -B$. Пусть $B = 1$, тогда $A = -1$. Уравнение плоскости: $-x + y = 0$. Вектор нормали к плоскости: $\vec{n} = (-1; 1; 0)$. 3. Найдём синус угла $\alpha$ между прямой $B_1D$ и плоскостью $(A_1AC)$: $\sin \alpha = \frac{|\vec{B_1D} \cdot \vec{n}|}{|\vec{B_1D}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(-5)(-1) + 5 \cdot 1 + (-5) \cdot 0|}{\sqrt{(-5)^2 + 5^2 + (-5)^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{5+5}{\sqrt{75} \cdot \sqrt{2}} = \frac{10}{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{4}{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$. 4. Зная $\sin \alpha$, найдём $\cos \alpha$: $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}}$. 5. Найдём тангенс угла: $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{2/3}}{\sqrt{1/3}} = \sqrt{2}$. **Ответ: $\sqrt{2}$**