На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите её площадь. В треугольнике ABC известно, что AC=38, BM-медиана, BM=17. Найдите AM.

1. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$. Считаем по клеткам: верхнее основание $a = 2$, нижнее $b = 4$, высота $h = 4$. $S = \frac{2 + 4}{2} \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12$. **Ответ: 12**. 2. В треугольнике медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам. $AM = MC = \frac{AC}{2}$. $AM = \frac{38}{2} = 19$. **Ответ: 19**. 3. Сторона правильного треугольника $a$ через радиус описанной окружности $R$ выражается формулой: $a = R\sqrt{3}$. $a = 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24$. **Ответ: 24**. 4. Площадь трапеции: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$. Дано: $a = 8$, $b = 14$, $h = 5$. $S = \frac{8 + 14}{2} \cdot 5 = \frac{22}{2} \cdot 5 = 11 \cdot 5 = 55$. **Ответ: 55**. 5. Угол $AOB$ — центральный, он опирается на дугу $AB$. Градусная мера дуги $AB$ равна углу $AOB = 153^\circ$. Угол $ACB$ — вписанный, опирающийся на ту же дугу $AB$. Его величина равна половине дуги. $\angle ACB = \frac{153^\circ}{2} = 76,5^\circ$. **Ответ: 76,5**. 6. В прямоугольном треугольнике $\cos B = \frac{BC}{AB}$. $BC = AB \cdot \cos B = 18 \cdot \frac{5}{6} = 3 \cdot 5 = 15$. **Ответ: 15**. 7. Площадь треугольника через радиус вписанной окружности $r$ и периметр $P$ находится по формуле: $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр. $p = \frac{P}{2} = \frac{71}{2} = 35,5$. $S = 35,5 \cdot 6 = 213$. **Ответ: 213**. 8. Медиана равностороннего треугольника является также его высотой. Формула высоты: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. $h = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$. **Ответ: 15**. 9. Разбор утверждений: 1) Неверно. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$, ни один не превышает $60^\circ$. 2) Верно. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту (как у любого параллелограмма). 3) Верно. Это признак параллельности прямых. **Ответ: 23**.