Что такое круговой сектор? Выведите формулу для вычисления площади кругового сектора.

### Ответы на теоретические вопросы **15. Что такое круговой сектор? Выведите формулу для вычисления площади кругового сектора.** Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. 1. Площадь всего круга равна $S = \pi R^2$. Это соответствует углу в $360^\circ$. 2. Площадь сектора с центральным углом в $1^\circ$ равна $\frac{\pi R^2}{360}$. 3. Площадь сектора с центральным углом $\alpha$ (в градусах) вычисляется по формуле: $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$. **16. Что такое круговой сегмент? Объясните, как можно вычислить его площадь.** Круговым сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и хордой, соединяющей концы этой дуги. Чтобы найти площадь сегмента: 1. Найдите площадь кругового сектора, соответствующего этой дуге. 2. Найдите площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой сегмента. 3. Если центральный угол $\alpha < 180^\circ$, площадь сегмента равна разности площадей сектора и треугольника: $S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle}$. 4. Если $\alpha > 180^\circ$, площадь сегмента равна сумме площадей сектора и треугольника. ### Решение дополнительных задач **1221. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из внешних углов которого равен: а) $18^\circ$; б) $40^\circ$; в) $72^\circ$; г) $60^\circ$?** Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$. У правильного $n$-угольника все внешние углы равны, значит, внешний угол $\beta = \frac{360^\circ}{n}$, откуда $n = \frac{360^\circ}{\beta}$. а) $n = \frac{360}{18} = 20$; б) $n = \frac{360}{40} = 9$; в) $n = \frac{360}{72} = 5$; г) $n = \frac{360}{60} = 6$. **1222. На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 3 дм, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.** 1. Сторона правильного треугольника $a_3 = R \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ дм. 2. Эта сторона является стороной квадрата $a_4 = 3\sqrt{3}$ дм. 3. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали: $R_{опис} = \frac{a_4 \sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{2} = 1,5\sqrt{6}$ дм. **Ответ:** $1,5\sqrt{6}$ дм. **1223. Найдите периметр правильного шестиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, если $A_1A_4 = 2,24$ см.** $A_1A_4$ — это большая диагональ правильного шестиугольника, которая равна двум его сторонам (и двум радиусам описанной окружности): $A_1A_4 = 2a_6$. 1. Сторона $a_6 = \frac{A_1A_4}{2} = \frac{2,24}{2} = 1,12$ см. 2. Периметр $P = 6 \cdot a_6 = 6 \cdot 1,12 = 6,72$ см. **Ответ:** 6,72 см.