В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, угол B равен 76. Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке M. Найдите величину угла AMC.

Для решения этих задач воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника, суммой углов треугольника и свойствами биссектрис. ### Задачи 1–4 В треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, значит $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Углы при основании равны: $\angle A = \angle C = (180^\circ - \angle B) : 2$. Биссектрисы делят эти углы пополам: $\angle MAC = \angle MCA = \angle A : 2$. В $\triangle AMC$: $\angle AMC = 180^\circ - (\angle MAC + \angle MCA)$. 1. $\angle A = \angle C = (180^\circ - 76^\circ) : 2 = 52^\circ$. $\angle MAC = \angle MCA = 52^\circ : 2 = 26^\circ$. $\angle AMC = 180^\circ - (26^\circ + 26^\circ) = 128^\circ$. **Ответ: 128**. 2. $\angle A = \angle C = (180^\circ - 88^\circ) : 2 = 46^\circ$. $\angle MAC = \angle MCA = 46^\circ : 2 = 23^\circ$. $\angle AMC = 180^\circ - (23^\circ + 23^\circ) = 134^\circ$. **Ответ: 134**. 3. $\angle A = \angle C = (180^\circ - 72^\circ) : 2 = 54^\circ$. $\angle MAC = \angle MCA = 54^\circ : 2 = 27^\circ$. $\angle AMC = 180^\circ - (27^\circ + 27^\circ) = 126^\circ$. **Ответ: 126**. 4. $\angle A = \angle C = (180^\circ - 64^\circ) : 2 = 58^\circ$. $\angle MAC = \angle MCA = 58^\circ : 2 = 29^\circ$. $\angle AMC = 180^\circ - (29^\circ + 29^\circ) = 122^\circ$. **Ответ: 122**. ### Задачи 5–8 $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB=BC$). Точка $D$ на продолжении $AB$, причем $AD=AC$. Значит, $\triangle ADC$ — равнобедренный с основанием $DC$, и $\angle ADC = \angle ACD$. Внешний угол $\angle BAC$ треугольника $ADC$ равен сумме двух углов, не смежных с ним: $\angle BAC = \angle ADC + \angle ACD = 2 \cdot \angle ADC$. В $\triangle ABC$: $\angle BAC = (180^\circ - \angle ABC) : 2$. Тогда $\angle ADC = \angle BAC : 2$. 5. $\angle BAC = (180^\circ - 32^\circ) : 2 = 74^\circ$. $\angle ADC = 74^\circ : 2 = 37^\circ$. **Ответ: 37**. 6. $\angle BAC = (180^\circ - 44^\circ) : 2 = 68^\circ$. $\angle ADC = 68^\circ : 2 = 34^\circ$. **Ответ: 34**. 7. $\angle BAC = (180^\circ - 28^\circ) : 2 = 76^\circ$. $\angle ADC = 76^\circ : 2 = 38^\circ$. **Ответ: 38**. 8. $\angle BAC = (180^\circ - 52^\circ) : 2 = 64^\circ$. $\angle ADC = 64^\circ : 2 = 32^\circ$. **Ответ: 32**. ### Задачи 9–11 В $\triangle ABC$ ($AB=BC$) $\angle B = 120^\circ$. Углы при основании $AC$: $\angle A = \angle C = (180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ$. Проведем высоту $AH$ к прямой $BC$ (так как угол $B$ тупой, высота упадет на продолжение стороны $BC$). В прямоугольном $\triangle AHC$ угол $C = 30^\circ$. Катет $AH$, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы $AC$. Значит, $AC = 2 \cdot AH$. 9. $AC = 2 \cdot 7 = 14$. **Ответ: 14**. 10. $AC = 2 \cdot 5 = 10$. **Ответ: 10**. 11. $AC = 2 \cdot 9 = 18$. **Ответ: 18**.