Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6 : 5.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, $c$ — гипотенуза, $h$ — высота, проведённая к гипотенузе. Высота делит гипотенузу на проекции катетов $a_c$ и $b_c$. 1. По условию $a : b = 6 : 5$. Пусть $a = 6x$, тогда $b = 5x$. 2. Используем свойство катетов: $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$. 3. Выразим проекции: $a_c = \frac{a^2}{c} = \frac{36x^2}{c}$, $b_c = \frac{b^2}{c} = \frac{25x^2}{c}$. 4. По условию разность проекций $a_c - b_c = 11$ см: $\frac{36x^2}{c} - \frac{25x^2}{c} = 11 \Rightarrow \frac{11x^2}{c} = 11 \Rightarrow x^2 = c$. 5. По теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2 = (6x)^2 + (5x)^2 = 36x^2 + 25x^2 = 61x^2$. 6. Подставим $x^2 = c$ в уравнение: $c^2 = 61c$. 7. Так как $c \neq 0$, разделим на $c$: $c = 61$. **Ответ: 61 см**